Question

Решите уравнение 8sin^2 3x+cos3x+1=0

Answer 1

Ответ:

8sin^2x+cos3x+1=0

4cos^3x-3cosx+8-8cos^2x+1=0

cosx=t

4t^3-8t^2-3t+9=0

t=-1

cosx=-1

x=П(2k+1)

Объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте заменим sin^2(3x) с помощью тождества тригонометрии sin^2(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2:

8(1 - cos(2*3x)) + cos(3x) + 1 = 0

Раскроем скобки:

8 - 8cos(6x) + cos(3x) + 1 = 0

Упростим выражение:

9 - 8cos(6x) + cos(3x) = 0

Теперь введём замену переменных, где t = cos(3x):

8t^2 - t - 9 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 4 * 8 * (-9) D = 1 + 288 D = 289

Так как D > 0, у нас есть два корня:

t₁ = (-b + sqrt(D)) / (2a) t₁ = (-(-1) + sqrt(289)) / (2 * 8) t₁ = (1 + 17) / 16 t₁ = 18 / 16 t₁ = 9 / 8

t₂ = (-b - sqrt(D)) / (2a) t₂ = (1 - 17) / 16 t₂ = -16 / 16 t₂ = -1

Теперь мы найдём значения cos(3x) для каждого из корней:

Для t₁ = 9 / 8:

cos(3x) = 9 / 8

Так как -1 <= cos(θ) <= 1, это решение не является допустимым.

Для t₂ = -1:

cos(3x) = -1

Теперь мы знаем, что cos(3x) равен -1. Это верно, когда 3x = π + 2πn, где n - целое число.

3x = π + 2πn

x = (π + 2πn) / 3

Итак, решения уравнения 8sin^2(3x) + cos(3x) + 1 = 0:

x = (π + 2πn) / 3, где n - целое число.