Question

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек (x,y), удовлетворяющих условие $x^2=y+sqrt(y+x)$

Answer 1

$x^{2}=y+\sqrt{y+x}$

Понятно, что $y+x\geq 0$ и $y+\sqrt{y+x}\geq 0$. С учетом этого: $x=\pm\sqrt{y+\sqrt{y+x}$. Рассмотрим два случая:

1) $x>0$. Тогда $x=\sqrt{y+\sqrt{y+x}$. Теперь можно пойти двумя путями: положить $f(x)=\sqrt{y+x}$ и заметить, что уравнение равносильно $f(f(x))=x$, что можно решить из соображений монотонности. Или переписать (остановимся на этом варианте - он интуитивно проще и понятней): $x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ - просто заменяя x на само себя в правой части. Надо сказать, что оправданность такого перехода лежит на плечах тех же соображений, которые используются в первом методе. Можно перейти к уравнению-следствию: $x^{2}-y=x\Leftrightarrow y=x^{2}-x$;

2) $x\leq 0$

В таком случае $x=-\sqrt{y+\sqrt{y+x}}$; Можно действовать подобно предыдущим преобразованиям, получим: $x=-\sqrt{y+\sqrt{y-\sqrt{y+\sqrt{y-...}}}}$; Обозначим $f=\sqrt{y+\sqrt{y-...}},\; g=\sqrt{y-\sqrt{y+...}}$; Имеем систему уравнений $\left \{ {{f^{2}=g+y} \atop {g^{2}=y-f}} \right.\Rightarrow \left \{ {{f^{2}=g+y} \atop {f^{2}-g^{2}=g+f}} \right. \Rightarrow \left \{ {{f^{2}=y+g} \atop {(f+g)(f-g-1)=0}} \right.$; Итак, $f=g+1$; Тем самым $f^{2}=y+f-1\Leftrightarrow f^{2}-f+1-y=0$; Решая это уравнение и переходя обратно к замене, получаем $-x=\frac{1+\sqrt{4y-3}}{2}\Rightarrow y=x^{2}-x+1$;

Теперь строим все случаи и исключаем точки, которые не удовлетворяют неравенствам.

Итог на картинке

Answer 2

Для изображения множества точек, удовлетворяющих условию уравнения $x^2 = y + \sqrt{y + x}$, построим график на координатной плоскости.

Прежде всего, преобразуем уравнение, чтобы выразить $y$ через $x$: \begin{align*} x^2 &= y + \sqrt{y + x}\ x^2 - y &= \sqrt{y + x}\ (x^2 - y)^2 &= y + x\ x^4 - 2x^2y + y^2 &= y + x\ x^4 - 2x^2y - x + (y^2 - y) &= 0 \end{align*}

Теперь, чтобы нарисовать график, мы можем построить точки, удовлетворяющие этому уравнению. Однако, так как уравнение квадратное относительно $y$, у нас будет два возможных значения $y$ для каждого значения $x$. Для каждого $x$ мы найдем оба значения $y$ и построим точки $(x, y_1)$ и $(x, y_2)$.

Вот Python-код, который строит график этого уравнения:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем диапазон значений x
x = np.linspace(-10, 10, 1000)

# Вычисляем соответствующие значения y
y1 = np.zeros_like(x)
y2 = np.zeros_like(x)

for i, x_val in enumerate(x):
    coefficients = [1, -2 * x_val**2 - 1, 0, x_val**4 + x_val - x_val**2]
    roots = np.roots(coefficients)
    y1[i] = roots[0]
    y2[i] = roots[1]

# Построение графика
plt.plot(x, y1, label='y1')
plt.plot(x, y2, label='y2')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График уравнения $x^2 = y + \sqrt{y + x}$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Полученный график покажет множество точек, удовлетворяющих условию уравнения $x^2 = y + \sqrt{y + x}$ на координатной плоскости.