Question

ЗНАЙТИ КРИТИЧНІ ТОЧКИ ФУНКЦІЇ у=3*х^2+х^3 ТА КЛАСИФІКУВАТИ ЇХ

Answer 1

Ответ: Критические точки: -2 и 0; -2- точка максимума;0- точка минимума

Объяснение:

у=3*х^2+х^3

у=х^3+3*х^2

Критические точки- это точки, в которых производная равна нулю( стационарные точки) и точки, в которых производная не существует.

у=х^3+3*х^2

y'=3×x²+6×x=3x(x+2)

y'=0

3x(x+2)=0

x=0 либо x+2=0⇒х=-2

Точек, в которых производная не существует- нет,так как ОДЗ для  y'- это множество всех действительных чисел

-2;0; - критические точки

Так как при переходе через точку -2 производная меняет знак с + на - , то -2- точка максимума

Так как при переходе через точку 0 производная меняет знак с - на + , то 0- точка минимума

Answer 2

Щоб знайти критичні точки функції у = 3x^2 + x^3, спочатку візьмемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля. Критичні точки відповідають значенням x, де похідна дорівнює нулю або не існує. Після знаходження цих точок, ми можемо класифікувати їх за допомогою другої похідної.

1. Знайдемо похідну функції у = 3x^2 + x^3: у' = d(3x^2 + x^3)/dx = 6x + 3x^2

2. Прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння: 6x + 3x^2 = 0 3x(2 + x) = 0

   Отримуємо два розв'язки: x = 0 та x = -2

3. Знайдемо значення другої похідної у = 3x^2 + x^3: у'' = d(6x + 3x^2)/dx = 6 + 6x

4. Підставимо критичні точки x = 0 та x = -2 у другу похідну: a) x = 0: у''(0) = 6 + 6(0) = 6 b) x = -2: у''(-2) = 6 + 6(-2) = 6 - 12 = -6

Тепер ми можемо класифікувати критичні точки:

• Коли друга похідна (у'') більша за нуль у критичній точці, це означає, що функція має локальний мінімум у цій точці.
• Коли друга похідна (у'') менша за нуль у критичній точці, це означає, що функція має локальний максимум у цій точці.
• Коли друга похідна (у'') дорівнює нулю або не існує, класифікація точки потребує додаткових досліджень.

5. Класифікація критичних точок: a) x = 0: у''(0) = 6 > 0 Критична точка x = 0 є локальним мінімумом.

   b) x = -2: у''(-2) = -6 < 0 Критична точка x = -2 є локальним максимумом.

Отже, критична точка x = 0 є локальним мінімумом, а критична точка x = -2 є локальним максимумом функції у = 3x^2 + x^3.