Question

Докажите, что значение выражения 4^24-4^21 кратно 126

Answer 1

Сначала разность превратил в произведение ,так как если один из множителей кратен ,то и произведение кратно!

Надо было показать делимость числа $4^{21}$ и 126

Для этого воспользовался циклом 4-6-4 и заметил ,что при нечётных степенях будет число оканчиваться на 4

21 - нечётное число ,следовательно наше оканчивается на 4 и кратно число 126

Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $4^{24} - 4^{21}$ кратно 126, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и модульной арифметики.

Мы знаем, что $a^n - b^n$ делится на $a - b$ для любых целых чисел $a$ и $b$ и натуральных чисел $n$. Таким образом, мы можем записать:

$4^{24} - 4^{21} = (4^3)^8 - (4^3)^7$.

После факторизации и сокращения по общему множителю $4^3$, получим:

$4^{24} - 4^{21} = (4^3)^7 \cdot (4^3 - 1)$.

Теперь мы можем представить $4^3 - 1$ как произведение $(4 - 1)$ и суммы $4^2 + 4 + 1$:

$4^3 - 1 = (4 - 1) \cdot (4^2 + 4 + 1)$.

Выражение $4 - 1$ равно 3, а $4^2 + 4 + 1$ равно 21.

Таким образом, мы можем переписать наше исходное выражение следующим образом:

$4^{24} - 4^{21} = (4^3)^7 \cdot (4^3 - 1) = (4^3)^7 \cdot 3 \cdot 21$.

Теперь, давайте посмотрим на делители 3 и 21.

3 является простым числом, а 21 делится на 3, поскольку сумма его цифр равна 3, что делит 21 без остатка.

Таким образом, мы можем заключить, что $4^{24} - 4^{21}$ делится на 3 и 21.

Так как 3 и 21 взаимно просты, то их наименьшее общее кратное (НОК) равно 3 × 21 = 63.

Таким образом, $4^{24} - 4^{21}$ делится на 63.

Поскольку 63 является делителем 126, мы можем сделать вывод, что $4^{24} - 4^{21}$ также делится на 126.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $4^{24} - 4^{21}$ кратно 126.