Question

Вопрос по тригонометрии 1-ctg(a)*ctg(3a), если cos(2a)=2/3 Прошу пояснить ход решения

Answer 1

Обозначим искомое выражение:

$x=1-\mathrm{ctg}\alpha\mathrm{ctg}3\alpha$

Распишем котангенсы как отношение косинуса к синусу:

$x=1-\dfrac{\cos\alpha\cos3\alpha}{\sin\alpha\sin3\alpha}$

Применим формулу для произведения косинусов и произведения синусов:

$x=1-\dfrac{\frac{1}{2}(\cos(\alpha-3\alpha)+\cos(\alpha+3\alpha))}{\frac{1}{2}(\cos(\alpha-3\alpha)-\cos(\alpha+3\alpha))}=1-\dfrac{\cos(-2\alpha)+\cos4\alpha}{\cos(-2\alpha)-\cos4\alpha}$

Воспользуемся четностью функции косинуса:

$x=1-\dfrac{\cos2\alpha+\cos4\alpha}{\cos2\alpha-\cos4\alpha}$

Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$x=1-\dfrac{\cos2\alpha+2\cos^22\alpha-1}{\cos2\alpha-(2\cos^22\alpha-1)}=1-\dfrac{\cos2\alpha+2\cos^22\alpha-1}{\cos2\alpha-2\cos^22\alpha+1}$

Подставим числовое значение косинуса:

$x=1-\dfrac{\frac{2}{3}+2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2-1}{\frac{2}{3}-2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+1}=1-\dfrac{\frac{2}{3}+2\cdot\frac{4}{9}-1}{\frac{2}{3}-2\cdot\frac{4}{9}+1}=1-\dfrac{\frac{2}{3}+\frac{8}{9}-1}{\frac{2}{3}-\frac{8}{9}+1}=\\=1-\dfrac{6+8-9}{6-8+9}=1-\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}$

Ответ: 2/7

Answer 2

Для решения данного вопроса мы можем использовать тригонометрические тождества и выражения через sin и cos.

Известно, что cos(2a) = 2/3. Мы можем воспользоваться формулой двойного угла для cos, чтобы выразить cos(a) через cos(2a):

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1.

Подставим известное значение cos(2a) и решим уравнение относительно cos(a):

2/3 = 2cos^2(a) - 1.

Добавим 1 к обеим сторонам:

2/3 + 1 = 2cos^2(a).

Упростим:

5/3 = 2cos^2(a).

Теперь найдем cos(a). Разделим обе стороны на 2:

5/6 = cos^2(a).

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

√(5/6) = cos(a).

Заметим, что ctg(a) = 1/tan(a), и ctg(3a) = 1/tan(3a). Мы можем записать ctg(a) и ctg(3a) через sin и cos:

ctg(a) = cos(a)/sin(a),

ctg(3a) = cos(3a)/sin(3a).

Теперь подставим найденное значение cos(a) и найдем ctg(a) и ctg(3a):

ctg(a) = cos(a)/sin(a) = (√(5/6))/sin(a),

ctg(3a) = cos(3a)/sin(3a) = cos(3a)/√(1 - cos^2(3a)).

Итак, получили выражения для ctg(a) и ctg(3a), используя найденное значение cos(a).