Question

Помогите пожалуйста решить задание: найдите множество значений функции f(x)=-x^4-8x^2+17.

Answer 1

f(x)=-x^4-8x^2+17, графиком данной функции есть парабола, ветви вниз.

Для определения наибольшего значения функции выделим полный квадрат:

f(x) =- (x^2+4)^2+33.

Наименьшее значение выражения х^2+4=4 при х=0, тогда f(0) =-4^2+33=-16+33=17

Область значений функции:

Е(f) =(-бесконечность; 17]

Answer 2

Производная функции равна -4х³-8х=-4х*(х²+2)

Одна критическая точка х=0

______0________

+                       -

Наибольшее значение достигает функция в точке максимума х=0 и равно оно -0⁴-8*0²+17=17

Е(f)=(-∞;17]

Answer 3

Для нахождения множества значений функции f(x) = -x^4 - 8x^2 + 17 можно использовать следующий подход:

1. Выразите функцию f(x) в виде суммы квадратов. Заметим, что -x^4 - 8x^2 является разностью квадратов (-x^4 - 8x^2 = -(x^4 + 8x^2)). Мы можем записать это как -x^4 - 8x^2 + 17 = -(x^4 + 8x^2) + 17.

2. Преобразуйте выражение (x^4 + 8x^2) к виду суммы квадратов. Заметим, что x^4 + 8x^2 = (x^2)^2 + 22x^2 + 2^2 - 2^2 = (x^2 + 2)^2 - 4.

3. Подставьте это обратно в исходное выражение: -(x^4 + 8x^2) + 17 = -((x^2 + 2)^2 - 4) + 17 = -(x^2 + 2)^2 + 4 + 17 = -(x^2 + 2)^2 + 21.

Теперь у нас есть новая функция g(x) = -(x^2 + 2)^2 + 21, которая имеет ту же форму, что и исходная функция f(x), но в более удобном виде.

4. Заметим, что (x^2 + 2)^2 всегда неотрицательно, так как это квадрат. Следовательно, наибольшее значение функции g(x) равно 21, когда (x^2 + 2)^2 = 0, то есть x^2 + 2 = 0, что невозможно для вещественных значений x.

Таким образом, множество значений функции f(x) = -x^4 - 8x^2 + 17 является всеми вещественными числами, кроме 21.