Question

Докажите, что при любом n число 2n^6-n^4-n^2 кратно 36

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Для того, щоб число ділилось на 36, потрібно довести подільність на 4 и 9.

2n⁶-n⁴-n²=n²(2n⁴-n²-1)=n²(n²-1)(2n²+1)=n²(n-1)(n+1)(3n²-(n²-1))=

=(n-1)n(n+1)(3n³-(n-1)n(n+1)).

Якщо n - парне, то через множник n², весь вираз ділиться на 4.

Якщо n - непарне, то відповідно n-1 и n+1 -  парні і знову все кратно 4.

(n-1)n(n+1) - добуток трьох послідовних чисел, тобто кратно 3.

Тому і  3n³-(n-1)n(n+1) - теж ділиться на 3, а отже, все кратно 9.

Answer 2

$2n^6-n^4-n^2=n^2(2n^4-n^2-1)=n^2(2n^4-2n^3+2n^3-2n^2+n^2-\\ \\ -n+n-1)=n^2\Big(2n^3(n-1)+2n^2(n-1)+n(n-1)+n-1\Big)=\\ \\ =n^2(n-1)(2n^3+2n^2+n+1)=n^2(n-1)\Big(2n^2(n+1)+n+1\Big)=\\ \\ =n^2(n-1)(n+1)(2n^2+1)$

Данное число 36 можно представить как 36 = 2 * 2 * 3 * 3.

$n(n-1)(n+1)$ — произведение трех последовательных чисел, т.е. среди этих чисел найдется по крайней мере одно четное число и хоть одно число точно делится на 3.

Если n - делится на 3, то и произведение $n\cdot n=n^2$ делится на 3, значит все число тоже делится на 3. Если один из чисел (n-1) и (n+1) делится на 3, то их произведение $(n^2-1)$ также делится на 3, тогда $2(n^2-1)$ тоже делится на 3 и следует деление на 3 $2(n^2-1)+3=2n^2+1$. Таким образом, данное выражение делится на 36 при любом n.

Answer 3

Для доказательства того, что при любом целом числе n, выражение 2n^6 - n^4 - n^2 кратно 36, нам необходимо показать, что это выражение делится на 36 без остатка.

Для этого докажем, что каждый из множителей 2, n^2 и (n^2 - 1) делится на 3 и 4.

1. Доказательство кратности 2: Любое четное число делится на 2 без остатка. Поскольку 2 - четное число, 2n^6 (произведение 2 и n^6) также будет четным числом и делится на 2.

2. Доказательство кратности 3: Теперь рассмотрим выражение n^2. Для доказательства кратности 3 существует два случая:

   • Если n кратно 3 (т.е. n = 3k для некоторого целого числа k), тогда n^2 = (3k)^2 = 9k^2, что делится на 3 без остатка.

   • Если n не кратно 3, тогда рассмотрим остатки при делении n на 3. Возможные остатки: 1 и 2. Пусть n = 3k + r, где r - остаток при делении n на 3. Тогда n^2 = (3k + r)^2 = 9k^2 + 6kr + r^2.

     Поскольку r^2 может быть либо 1 (если r = 1) либо 4 (если r = 2), то n^2 будет иметь вид 9k^2 + 6kr + 1 или 9k^2 + 6kr + 4. В обоих случаях, первые два члена (9k^2 и 6kr) делятся на 3, и остаток (1 или 4) также делится на 3. Таким образом, n^2 делится на 3.

3. Доказательство кратности 4: Рассмотрим выражение (n^2 - 1). Для доказательства кратности 4 снова рассмотрим два случая:

   • Если n кратно 2 (т.е. n = 2m для некоторого целого числа m), тогда (n^2 - 1) = (2m)^2 - 1 = 4m^2 - 1. Число 4m^2 делится на 4 без остатка, и остаток -1 также делится на 4.

   • Если n не кратно 2, то n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1). Так как n - 1 и n + 1 будут два последовательных четных числа, одно из них кратно 4, и произведение (n - 1)(n + 1) также будет делиться на 4.

Теперь мы доказали, что каждый из множителей 2, n^2 и (n^2 - 1) делится на 3 и 4. Поскольку 2n^6 представляет собой произведение этих множителей, то 2n^6 также делится на 3 и 4. А также мы знаем, что 36 = 3 * 4, следовательно, 2n^6 делится на 36.

Теперь рассмотрим выражение 2n^6 - n^4 - n^2. Мы уже доказали, что 2n^6 делится на 36. Теперь рассмотрим два других члена.

• n^4 = n^2 * n^2, и мы уже доказали, что n^2 делится на 3 и 4, следовательно, n^4 делится на 3 и 4.

• n^2 также делится на 3 и 4.

Поскольку все три члена (2n^6, -n^4 и -n^2) в сумме делятся на 36, то и вся сумма 2n^6 - n^4 - n^2 делится на 36.