Question

Решите уравнение. (1/2)^x+2 +3(1/2)^x+1 -(1/2)^x<3

Answer 1

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x+2}+3\left ( \frac{1}{2} \right )^{x+1}-\left ( \frac{1}{2} \right )^x\Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^x\left ( \frac{1}{4}+\frac{3}{2}-1 \right )$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его для удобства:

(1/2)^(x+2) + 3(1/2)^(x+1) - (1/2)^x < 3

Сначала заметим, что все слагаемые в уравнении содержат общий множитель (1/2)^x. Мы можем использовать это свойство для упрощения уравнения.

Домножим обе части уравнения на (1/2)^x, получим:

(1/2)^2 + 3(1/2)^1 - 1 < 3(1/2)^x

1/4 + 3/2 - 1 < 3(1/2)^x

5/4 - 1 < 3(1/2)^x

1/4 < 3(1/2)^x

Теперь заметим, что оба числа 1/4 и 3 являются положительными. Поэтому (1/2)^x также должно быть положительным числом.

Учитывая это, мы можем безопасно сократить неравенство на положительное число (1/2)^x:

1/4 < 3(1/2)^x

Теперь найдём наименьшее целое значение x, которое удовлетворяет этому неравенству.

Рассмотрим правую часть неравенства: 3(1/2)^x. Чтобы упростить вычисления, заменим (1/2)^x на новую переменную, например, y:

y = (1/2)^x

Тогда уравнение примет вид:

1/4 < 3y

Умножим обе части неравенства на 4:

1 < 12y

Разделим обе части неравенства на 12:

1/12 < y

Теперь заменим обратно y на (1/2)^x:

1/12 < (1/2)^x

Для нахождения целочисленного решения неравенства мы можем взять логарифм от обеих частей неравенства с основанием 1/2:

log[1/2] (1/12) < log[1/2] ((1/2)^x)

log[1/2] (1/12) < x

Теперь осталось вычислить левую часть неравенства:

log[1/2] (1/12) ≈ 4.585

Итак, решением исходного уравнения будет:

x > 4.585

Таким образом, множество решений уравнения (1/2)^(x+2) + 3(1/2)^(x+1) - (1/2)^x < 3 - это интервал (4.585, +∞).