Question

Исследовать через производную и построить график функции y=-x^3+x​

Answer 1

Ответ:

=============================

Объяснение:

Answer 2

Для исследования функции y = -x^3 + x с использованием производной, мы можем проанализировать ее экстремумы, точки перегиба и области возрастания и убывания. Затем мы построим график функции, чтобы визуализировать ее поведение.

1. Найдем производную функции y по x: y' = -3x^2 + 1

2. Решим уравнение y' = 0 для определения критических точек: -3x^2 + 1 = 0 -3x^2 = -1 x^2 = 1/3 x = ±√(1/3)

   Таким образом, у нас есть две критические точки: x = √(1/3) и x = -√(1/3).

3. Определим знак производной в разных интервалах:

   a) Если x < -√(1/3): Подставим x = -1 в y': y' = -3(-1)^2 + 1 = -3 + 1 = -2 Таким образом, в этом интервале производная отрицательна (y' < 0).

   b) Если -√(1/3) < x < √(1/3): Подставим x = 0 в y': y' = -3(0)^2 + 1 = 1 Таким образом, в этом интервале производная положительна (y' > 0).

   c) Если x > √(1/3): Подставим x = 1 в y': y' = -3(1)^2 + 1 = -2 Таким образом, в этом интервале производная отрицательна (y' < 0).

4. Определим точки перегиба, решив уравнение y'' = 0: y'' = -6x -6x = 0 x = 0

   Таким образом, у нас есть точка перегиба при x = 0.

Теперь построим график функции, используя найденную информацию:

scssCopy code
    |
    |
    |      .
    |     .
    |    .
    |   .
    |  .
    | .
    |_________________
   -√(1/3)   0   √(1/3)

На графике видно, что функция y = -x^3 + x имеет экстремумы в точках x = -√(1/3) и x = √(1/3) и перегиб в точке x = 0. Также, функция возрастает в интервалах (-∞, -√(1/3)) и (0, √(1/3)), и убывает в интервале (-√(1/3), 0) и (√(1/3), +∞).