Question

Остача від ділення на 7 одного натурального числа дорівнює 4, а другого числа — 3. Доведіть, що різниця квадратів цих чисел кратна 7. С решением пожалуйста

Answer 1

..........................

Answer 2

Для доведення того, що різниця квадратів двох чисел є кратною 7, ми можемо використати принцип математичної індукції. Для цього розглянемо два натуральних числа, позначимо їх як $a$ і $b$, такі, що остача від ділення $a$ на 7 дорівнює 4, а остача від ділення $b$ на 7 дорівнює 3.

Тобто ми можемо записати:

$a \equiv 4 \pmod{7}$ (1) $b \equiv 3 \pmod{7}$ (2)

Наша мета - довести, що різниця квадратів $a^2$ і $b^2$ є кратною 7, тобто:

$a^2 - b^2 \equiv 0 \pmod{7}$ (3)

Для цього скористаємося співвідношенням різниці квадратів:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Підставимо значення остач з (1) та (2):

$a + b \equiv 4 + 3 \equiv 0 \pmod{7}$

$a - b \equiv 4 - 3 \equiv 1 \pmod{7}$

Отже, отримуємо:

$(a + b)(a - b) \equiv 0 \cdot 1 \equiv 0 \pmod{7}$

Тому різниця квадратів $a^2 - b^2$ є кратною 7, що і було потрібно довести.