Question

Квадрат разности корней уравнения x²+px+405=0 равен 144.Найдите p и второй корень.​

Answer 1

$x^2+px+405=0\\\\x_1 - x_2 = \sqrt{144} = 12\\\\x_1 \cdot x_2 = 405\\\\\left \{ {{x_1-x_2=12} \atop {x_1 \cdot x_2=405}} \right.\\\\x_1 = 12 + x_2\\\\(12 + x_2) \cdot x_2 = 405\\\\12x_2 + x_2^2 = 405\\\\x_2^2 + 12x_2 - 405 = 0\\\\D = 144 + 1620 = 1764\\\\\sqrt{D} = 42\\\\x_2_1 = \frac{-12-42}{2} = \frac{-54}{2} = -27\\\\x_2_2 = \frac{-12+42}{2} = \frac{30}{2} = 15\\\\x_1_1 = 12 + (-27) = -15\\\\x_1_2 = 12 + 15 = 27$

Таким образом корнями уравнения может быть либо 15 и 27, либо -15 и -27. Соответственно $p$ будет либо -42, либо 42, так как сумма корней равняется $-p$.

Answer 2

Чтобы найти значение p и второй корень уравнения, давайте начнем с решения уравнения x² + px + 405 = 0.

Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, квадрат разности корней можно найти по формуле:

Квадрат разности корней = (корень1 - корень2)²

Для уравнения x² + px + 405 = 0, дискриминант (D) будет равен:

D = p² - 4 * 1 * 405 D = p² - 1620

Теперь, поскольку квадрат разности корней равен 144, у нас есть следующее уравнение:

(корень1 - корень2)² = 144

Заменим (корень1 - корень2)² на значение дискриминанта:

p² - 1620 = 144

Теперь решим это уравнение относительно p:

p² = 144 + 1620 p² = 1764

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

p = ±√1764 p = ±42

Таким образом, у нас есть два значения для p: p = 42 и p = -42.

Теперь, чтобы найти второй корень, мы можем использовать одно из значений p и дискриминант.

Для p = 42:

D = 42² - 4 * 1 * 405 D = 1764 - 1620 D = 144

Теперь используем формулу для нахождения корня:

корень2 = (-p - √D) / 2

корень2 = (-42 - √144) / 2 корень2 = (-42 - 12) / 2 корень2 = -54 / 2 корень2 = -27

Таким образом, при p = 42, второй корень равен -27.

Аналогично, при p = -42, второй корень также будет равен -27.

Итак, ответ: p может быть равно 42 или -42, а второй корень уравнения равен -27.