Question

(x-1)^2(x-5)<0 Подробно решите неравенство

Answer 1

$(x - 1)^{2}(x - 5) < 0$

Первый способ

Анализируем: здесь $(x- 1)^{2}$ — неотрицательная величина; имеем: при умножении неотрицательной величины с другим выражением мы можем получить отрицательное число, если второе выражение будет отрицательным, а первое — не равным нулю:

$\left\{\begin{array}{ccc}x - 1 \neq 0, \\x - 5 < 0\\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}x \neq 1, \\x < 5 \ \\\end{array}\right$

Итак, общим ответом будет $x \in (-\infty ; \ 1) \cup (1; \ 5)$

Второй способ

Решим неравенство методом интервалов:

1) Найдем нули данного выражения:

$(x - 1)^{2}(x - 5) = 0\\\left[\begin{array}{ccc}x = 1,\\x = 5 \ \\\end{array}\right$

2) ОДЗ: все числа

3) Начертим координатную прямую и отметим нули данного выражения выколотыми точками (так как неравенство строгое) и определим знак на каждом участке и объединим участок (участки), содержащие знак "минус" (см. вложение).

Итак, общим ответом будет $x \in (-\infty ; \ 1) \cup (1; \ 5)$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы должны проанализировать его на основе знания о графике квадратичных функций и знака произведений.

1. Найдем корни уравнения (x - 1)^2(x - 5) = 0: (x - 1)^2 = 0 --> x - 1 = 0 --> x = 1 x - 5 = 0 --> x = 5

   Итак, у нас есть два корня: x = 1 и x = 5.

2. Разделим числовую прямую на три интервала с использованием найденных корней:

   -∞ 1 5 +∞

3. Возьмем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство для определения знака выражения (x - 1)^2(x - 5):

   Для x < 1: Пусть x = 0 (0 - 1)^2(0 - 5) = 1 * (-5) = -5, что является отрицательным значением.

   Для 1 < x < 5: Пусть x = 3 (3 - 1)^2(3 - 5) = 2^2 * (-2) = 4 * (-2) = -8, что также является отрицательным значением.

   Для x > 5: Пусть x = 6 (6 - 1)^2(6 - 5) = 5^2 * 1 = 25 * 1 = 25, что является положительным значением.

4. Резюмируя, мы получаем следующую информацию о знаке выражения (x - 1)^2(x - 5) на каждом интервале:

   -∞ 1 5 +∞ (-) (-) (+) (+)

5. Поскольку исходное неравенство требует, чтобы выражение было меньше нуля, мы заинтересованы только в отрицательных значениях. Таким образом, нас интересуют только первые два интервала.

6. Окончательное решение неравенства (x - 1)^2(x - 5) < 0:

   x < 1 или 1 < x < 5