Question

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что угол ABC равен 60°.​

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, что угол ABC равен 60°, предположим, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окружности. Затем воспользуемся свойствами остроугольного треугольника и центрального угла.

Пусть P - это точка пересечения окружности O с прямой AC (для простоты, предположим, что точка P лежит между точками A и C).

Так как O - центр опи­сан­ной окруж­но­сти треугольника ABC, то угол AOC - это удвоенный угол ABC (так как угол, охватываемый дугой на окружности, вдоль которой лежит сторона треугольника, равен удвоенному углу при вершине).

Также, так как I - центр впи­сан­ной окруж­но­сти, то угол PIC - это угол вписанный, равный половине угла при вершине B (угол PBC).

Теперь заметим, что угол AOC и угол PIC - это один и тот же угол (так как они охватывают одну и ту же дугу на окружности O).

Таким образом, угол AOC = угол PIC.

Угол AOC = угол ABC (удвоенный).

Угол PIC = угол PBC (половина угла при вершине B).

Таким образом, угол ABC = 2 * угол PBC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник PBC. Так как ABC - остроугольный треугольник, угол PBC также острый.

Предположим, что угол ABC > 60°.

Тогда угол PBC = угол PIC < угол AOC = угол ABC.

Это противоречие, так как мы предположили, что угол ABC больше 60°.

Следовательно, предположение было неверным, и угол ABC не может быть больше 60°.

Теперь предположим, что угол ABC < 60°.

Тогда угол PBC = угол PIC > угол AOC = угол ABC.

Это также противоречие, так как мы предположили, что угол ABC меньше 60°.

Следовательно, предположение было неверным, и угол ABC не может быть меньше 60°.

Таким образом, единственный возможный вариант - угол ABC равен 60°.