Question

Решите неравенство (х-3)^2-5|х-3|+4 < или = 0 Объясните пожалуйста, хотя бы кратко

Answer 1

(х - 3)^2 - 5|х - 3| + 4 ≤ 0

(x - 3)^2 = |x - 3|^2

|x - 3| = t ≥ 0

t^2 - 5t + 4 ≤ 0

D = 25 - 16 = 9 = 3^2

t12 = (5 +- 3)/2 = 1   4

(t - 1)(t - 4) ≤ 0

++++++++[1] ------------- [4] +++++++++++

1 ≤ t ≤ 4

1. |x - 3| ≥ 1

x - 3 ≥ 1     x ≥ 4

x - 3 ≤ -1    x ≤ 2

x ∈ (-∞,2] U [4, +∞)

2. |x - 3| ≤ 4

x - 3 ≤ 4    x ≤ 7

x - 3 ≥ -4   x ≥ -1

x ∈ [-1, 7]

пересекаем с первым вариантом

ответ х ∈ [-1, 2] U [4,7]

Answer 2

Ответ:

Объяснение: |x-3|²-5|x-3|+4≤0,   (x-3)²=|x-3|²

пусть |x-3|=t≥0,   тогда имеем t²-5t+4≤0,D=25-16=9=3², t1=4,t2=1.

1≤t≤4--- решение неравенства отн-но t;

 1≤|x-3|≤4 ;

{|x-3|≥1, |x-3|≤4;   {x-3≥1 или x-3≤ -1, -4≤x-3≤4; {x≥4или x≤ 2, -1≤x≤7;

ответ: x∈[-1;2]∪[4;7]

Answer 3

Для решения данного неравенства, мы будем рассматривать различные интервалы значений переменной x.

1. Рассмотрим интервал x < 3: В этом случае (x-3) < 0, а |x-3| > 0. Тогда у нас имеется следующее неравенство: (x-3)^2 - 5|x-3| + 4 < 0 (x-3)^2 < 5|x-3| - 4 Поскольку обе стороны неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат: (x-3)^4 < (5|x-3| - 4)^2 (x-3)^4 < (5|x-3|)^2 - 8 * 5|x-3| + 16 (x-3)^4 < 25(x-3)^2 - 40|x-3| + 16

   Пусть t = x-3, тогда t < 0, и перепишем неравенство: t^4 < 25t^2 - 40|t| + 16

2. Рассмотрим интервал x ≥ 3: В этом случае (x-3) ≥ 0, а |x-3| = x-3. Тогда у нас имеется следующее неравенство: (x-3)^2 - 5|x-3| + 4 ≤ 0 (x-3)^2 - 5(x-3) + 4 ≤ 0 x^2 - 11x + 22 ≤ 0

Теперь решим оба уравнения:

1. Рассмотрим t^4 < 25t^2 - 40|t| + 16:

Разбиваем неравенство на интервалы и решаем для каждого интервала:

a) t < 0: В этом случае |t| = -t, и уравнение становится: t^4 < 25t^2 + 40t + 16

Перепишем как квадратное уравнение: t^4 - 25t^2 - 40t - 16 < 0

Решим квадратное уравнение: t = -2, t = 2, t ≈ -1.458, t ≈ 1.458 В данном интервале выполняется: -2 < t < -1.458

b) t ≥ 0: В этом случае |t| = t, и уравнение становится: t^4 < 25t^2 - 40t + 16

Перепишем как квадратное уравнение: t^4 - 25t^2 + 40t - 16 < 0

Решим квадратное уравнение: t ≈ -2.828, t ≈ 2.828 В данном интервале выполняется: 2.828 < t

2. Решим неравенство x^2 - 11x + 22 ≤ 0:

Факторизуем левую часть неравенства: (x - 2)(x - 9) ≤ 0

Теперь рассмотрим интервалы:

a) x < 2: Оба множителя (x-2) и (x-9) отрицательны. Значит, неравенство выполнено.

b) 2 ≤ x ≤ 9: (x-2) положительный, (x-9) отрицательный. Неравенство не выполняется.

c) x > 9: Оба множителя (x-2) и (x-9) положительны. Значит, неравенство выполнено.

Итак, корни неравенства: x < 2, 9 < x ≤ 2.828.

Таким образом, объединяя результаты из двух интервалов, получаем решение исходного неравенства:

x < 2, 9 < x ≤ 2.828.