Question

Решить биквадратное уравнение: x^4-12x^2-64=0

Answer 1

.....................

Answer 2

$\displaystyle \tt {x}^{4} - 12 {x}^{2} - 64 = 0$

Пусть $\displaystyle \tt x^2=y$, тогда:

$\displaystyle \tt {y}^{2} - 12 {y}^{2} - 64 = 0 \\ D = {( - 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 64) = 144 + 256 = 400 \\ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \\ y_1 = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16 \\ y_2 = \frac{12 - 20}{2} = \frac{ - 8}{2} = - 4$

$\displaystyle \tt {x}^{2} = 16 \\ x = \sqrt{16} \\ x_1 = 4 \\ x = - \sqrt{16} \\ x_2= - 4$

$\displaystyle \tt x^2=-4$ - нет корней

Ответ: $\displaystyle \tt x_1=4; \: x_2=-4$

Answer 3

Для решения биквадратного уравнения $x^4 - 12x^2 - 64 = 0$ выполним замену $x^2 = t$:

$t^2 - 12t - 64 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение $t^2 - 12t - 64 = 0$ с помощью квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = -12$, $c = -64$.

$t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64)}}{2 \cdot 1}$

$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2}$

$t = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2}$

$t = \frac{12 \pm 20}{2}$

Таким образом, получаем два значения $t$:

1. $t_1 = \frac{12 + 20}{2} = 16$
2. $t_2 = \frac{12 - 20}{2} = -4$

Теперь восстановим значения $x$:

1. $x^2 = t_1 = 16$ $x = \sqrt{16} = \pm 4$

2. $x^2 = t_2 = -4$

Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным для вещественных чисел $x$, уравнение $x^2 = -4$ не имеет решений в вещественных числах.

Итак, ответ: уравнение $x^4 - 12x^2 - 64 = 0$ имеет два решения: $x = 4$ и $x = -4$.