Question

Помогите решить тригонометрию Корень из 0,5 cosx = sin x/2

Answer 1

$\sqrt{\frac{1}{2}\cos x} = \sin \left(\frac{x}{2}\right)\\\left\{ \begin{aligned}&\frac{1}{2}\cos x \geqslant 0 \\&\sin \left(\frac{x}{2}\right) \geqslant 0 \\ &\frac{1}{2} \cos x = { \sin}^2 \left(\frac{x}{2}\right) \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned}&\cos x \geqslant 0 \\&\sin \left(\frac{x}{2}\right) \geqslant 0 \\ &\cos x - 2 \:{ \sin}^2 \left(\frac{x}{2}\right) = 0\end{aligned} \right.$

По формуле $\cos x = 1 - 2 \: \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)$

$\left\{ \begin{aligned}&\cos x \geqslant 0 \\&\sin \left(\frac{x}{2}\right) \geqslant 0 \\ &1 - 4 \:{ \sin}^2 \left(\frac{x}{2}\right) = 0\end{aligned} \right.$

Рассмотрим $1 - 4 \:{ \sin}^2 \left(\frac{x}{2}\right) = 0$

$1 - 4 \:{ \sin}^2 \left(\frac{x}{2}\right) = 0\\{ \sin}^2 \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{4}\\\sin \left(\frac{x}{2}\right) = \pm \frac{1}{2}$

Вернёмся к системе

$\left\{ \begin{aligned}&\cos x \geqslant 0 \\&\sin \left(\frac{x}{2}\right) \geqslant 0 \\ &\sin \left(\frac{x}{2}\right) = \pm \frac{1}{2}\end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned}&\cos x \geqslant 0\\ &\sin \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}\end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned}&\cos x \geqslant 0\\ &\left[ \begin{aligned} &\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6} +2\pi k_1, \: k_1 \in \mathbb{Z}\\&\frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6} +2\pi k_2, \: k_2 \in \mathbb{Z}\end{aligned} \right. \end{aligned} \right.\\\left\{ \begin{aligned}&\cos x \geqslant 0\\ &\left[ \begin{aligned} &x=\frac{\pi}{3} +4\pi k_1, \: k_1 \in \mathbb{Z}\\&x=\frac{5\pi}{3} +4\pi k_2, \: k_2 \in \mathbb{Z}\end{aligned} \right. \end{aligned} \right. \\ \left[ \begin{aligned} &x=\frac{\pi}{3} +4\pi k_1, \: k_1 \in \mathbb{Z}\\&x=\frac{5\pi}{3} +4\pi k_2, \: k_2 \in \mathbb{Z}\end{aligned} \right.$

Ответ:

$\left[ \begin{aligned} &x=\frac{\pi}{3} +4\pi k_1, \: k_1 \in \mathbb{Z}\\&x=\frac{5\pi}{3} +4\pi k_2, \: k_2 \in \mathbb{Z}\end{aligned} \right. \\\Downarrow\\ x=\pm\frac{\pi}{3} +4\pi k, \: k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения сначала приведем его к более удобному виду. Начнем с упрощения выражения.

1. Используем тригонометрические тождества: cos(x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) (тождество половинного угла для косинуса) sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2) (тождество половинного угла для синуса)

2. Заменим выражение в уравнении с использованием тригонометрических тождеств: √(0.5)cos(x) = sin(x/2) √(0.5)(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) = 2sin(x/2)cos(x/2)

3. Упростим выражение: √(0.5)cos^2(x/2) - √(0.5)sin^2(x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2)

4. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: √(0.5)cos^2(x/2) - 2sin(x/2)cos(x/2) - √(0.5)sin^2(x/2) = 0

5. Объединим слагаемые: √(0.5)cos^2(x/2) - 2√(0.5)sin(x/2)cos(x/2) - √(0.5)sin^2(x/2) = 0

6. Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых: √(0.5)(cos^2(x/2) - 2sin(x/2)cos(x/2) - sin^2(x/2)) = 0

7. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos(x) √(0.5)(cos(x) - 2sin(x/2)cos(x/2)) = 0

8. Вынесем общий множитель из вторых двух слагаемых: √(0.5)(cos(x) - 2√(0.5)sin(x/2)cos(x/2)) = 0

Теперь у нас есть уравнение: √(0.5)(cos(x) - 2√(0.5)sin(x/2)cos(x/2)) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. Первое слагаемое равно нулю: √(0.5)(cos(x)) = 0 cos(x) = 0

   Решения этого уравнения находятся при значениях x, удовлетворяющих: x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. Второе слагаемое равно нулю: √(0.5)sin(x/2)cos(x/2) = 0

   Для этого уравнения есть два возможных случая: a) sin(x/2) = 0: Это уравнение решается при x/2 = 0 + nπ, где n - целое число. x = 2nπ.

   b) cos(x/2) = 0: Это уравнение решается при x/2 = π/2 + mπ, где m - целое число. x = π + 2mπ.

Таким образом, уравнение √(0.5)cos(x) = sin(x/2) имеет следующие решения: x = π/2 + kπ, где k - целое число, и x = 2nπ и x = π + 2mπ, где n и m - целые числа.