Question

Найти площадь криволинейной трапеции. у)=2-х². у=0. х=-1. х=0

Answer 1

Ответ:

===================================

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = 2 - x², осью x и вертикальными линиями x = -1 и x = 0, нужно вычислить определенный интеграл функции y = 2 - x² на интервале [-1, 0].

Площадь криволинейной трапеции может быть вычислена следующим образом:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx,$

где a и b - это границы интервала, в данном случае a = -1 и b = 0, а |f(x)| - абсолютное значение функции y = 2 - x².

Таким образом, мы должны рассмотреть два случая: когда значение функции положительно и когда оно отрицательно на данном интервале.

1. Когда $2 - x² \geq 0$:

$2 - x² \geq 0 \Rightarrow x² \leq 2 \Rightarrow -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$.

2. Когда $2 - x² < 0$:

$2 - x² < 0 \Rightarrow x² > 2 \Rightarrow x < -\sqrt{2}$ и $x > \sqrt{2}$.

Так как у нас есть только один отрезок [-1, 0], который находится внутри интервала $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$, то значения функции y = 2 - x² на этом отрезке всегда положительны. Поэтому площадь криволинейной трапеции равна интегралу функции y = 2 - x² на интервале [-1, 0]:

$S = \int_{-1}^{0} (2 - x²) \, dx.$

Теперь выполним вычисления:

$S = \int_{-1}^{0} (2 - x²) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$

$S = \left( 2\cdot0 - \frac{0^3}{3} \right) - \left( 2\cdot(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right)$

$S = 0 - \left( -2 + \frac{1}{3} \right) = 0 + 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}.$

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = 2 - x², осью x и вертикальными линиями x = -1 и x = 0, равна $\frac{5}{3}$ квадратных единиц.