Question

Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны. Три различные стороны трапеции образуют арифметическую прогрессию. Периметр трапеции равен  36 см. Какая из сторон трапеции является наибольшей? Найди все стороны трапеции​

Answer 1

AD=х

DC=х

CB=х+у

AB=х+2у

AD + DC + CB + AB = 36

х + х + х + у + х + 2у=36

4х + 3у = 36

СН - высота.

СН = АD

AD = DC => ADCH - квадрат. (не пугайтесь рисунка, чуть не удался, но смысл передает)

СК=АВ=х

AН=х ⇒ НВ=AВ–АН=х+2у–х=2у

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СНВ:

CВ²=CН²+НВ²

Решаем систему:

{4х + 3у = 36

{(х+у)²=х²+(2у)²

=>

{4х + 3у = 36

{2ху=3у²

=>

{4х + 3у = 36

{2х=3у

=>

{4х + 3у = 36

{4х=6у

=>

{6у + 3у = 36

{4х=6у

=>

{у = 4

{х = 6

Ответ: АD=6; DС=3; СB=10; AB=14

Answer 2

Пусть a и b - это две равные меньшие стороны прямоугольной трапеции, а c - это наибольшая из трех сторон, образующих арифметическую прогрессию.

Так как трапеция прямоугольная, у нее есть два прямых угла, и она может быть представлена как сумма двух прямоугольных треугольников. Периметр трапеции равен сумме всех ее сторон:

Периметр = a + b + c + c = a + 2c + b = 36 см

Также, из условия задачи, известно, что стороны a и b равны между собой:

a = b

Теперь, учитывая арифметическую прогрессию, выражаем наибольшую сторону c через первый элемент прогрессии (a) и разность прогрессии (d):

c = a + d

Теперь можно объединить уравнения:

a + 2c + b = 36

Заменяем c:

a + 2(a + d) + a = 36

Упрощаем:

4a + 2d = 36

Теперь нам нужно найти значения a и d. Но мы знаем, что a = b, так как они равны между собой. А также, зная, что три стороны образуют арифметическую прогрессию, можем выразить d через a:

d = b - a

Теперь подставим d в уравнение:

4a + 2(b - a) = 36

Упрощаем:

4a + 2b - 2a = 36

2a + 2b = 36

Теперь выражаем b через a:

b = 18 - a

Таким образом, у нас есть выражения для a и b через a. Теперь найдем значения a и b:

a + b + c + c = 36

a + 18 - a + a + d + a + d = 36

3a + 2d = 18

Теперь заменяем d через a:

3a + 2(b - a) = 18

3a + 2(18 - a) = 18

3a + 36 - 2a = 18

a + 36 = 18

a = 18 - 36

a = -18

Теперь находим b:

b = 18 - a

b = 18 - (-18)

b = 36

Таким образом, получаем, что a = -18 см и b = 36 см.

Теперь, чтобы найти наибольшую сторону c, используем одно из предыдущих выражений:

c = a + d

c = -18 + (b - a)

c = -18 + (36 - (-18))

c = -18 + 36 + 18

c = 36 см

Таким образом, наибольшая сторона трапеции равна 36 см, и все стороны трапеции равны: 36 см, -18 см, 36 см и 18 см. (Отметим, что отрицательная длина не имеет физического смысла, поэтому физически корректный ответ будет без отрицательных значений сторон).