Question

Найдите наименьшее значение функцииy=x^2-2x+5 на отрезке [-1,2]​

Answer 1

Объяснение:

ответ смотрите на рисунке

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2 - 2x + 5$ на отрезке $[-1, 2]$, мы должны исследовать значения функции в концах отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.

1. Значение функции в концах отрезка: Подставим $x = -1$ и $x = 2$ в функцию $y = x^2 - 2x + 5$ и найдем значения: Для $x = -1$: $y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 5 = 1 + 2 + 5 = 8$

   Для $x = 2$: $y = (2)^2 - 2 \cdot (2) + 5 = 4 - 4 + 5 = 5$

2. Критические точки: Чтобы найти критические точки, найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $y = x^2 - 2x + 5$ $y' = 2x - 2$ Найдем $x$, приравняв $y'$ к нулю: $2x - 2 = 0$ $2x = 2$ $x = 1$

   Теперь, чтобы убедиться, что это минимум функции на отрезке $[-1, 2]$, проверим вторую производную: $y'' = 2$, что является положительным числом, подтверждая, что точка $x = 1$ является минимумом.

3. Сравнение значений в концах отрезка и критической точки: Мы имеем три кандидата на минимум: $x = -1$ (значение функции 8), $x = 1$ (значение функции 4) и $x = 2$ (значение функции 5).

Таким образом, наименьшее значение функции $y = x^2 - 2x + 5$ на отрезке $[-1, 2]$ равно 4 и достигается при $x = 1$.