Question

Докажите, что при a,b,c,d>0 выполнено неравенство a/(b+c+d) + (b+c)/(a+d) + + d/(b+a)>1

Answer 1

$a,b,c,d>0=>\\ 1)\;b+c+d\dfrac{1}{b+c+d}>\dfrac{1}{a+b+c+d}=>\dfrac{a}{b+c+d}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\\ 2)\;a+d\dfrac{1}{a+d}>\dfrac{1}{a+b+c+d}=>\dfrac{b+c}{a+d}>\dfrac{b+c}{a+b+c+d}\\3)\;b+a\dfrac{1}{b+a}>\dfrac{1}{a+b+c+d}=>\dfrac{d}{b+a}>\dfrac{d}{a+b+c+d}\\ =>\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b+c}{a+d}+\dfrac{d}{b+a}>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b+c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться неравенством Коши-Буняковского (неравенство КБ).

Неравенство КБ утверждает, что для любых положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ и $y_1, y_2, \ldots, y_n$ выполняется следующее:

$(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n)^2.$

Теперь, заметим, что неравенство КБ будет верно, если мы возьмем $x_i = \sqrt{a_i}$ и $y_i = \frac{1}{\sqrt{a_i}}$ для $i = 1, 2, \ldots, n$.

Применяя неравенство КБ к набору чисел $\left(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}, \sqrt{d}\right)$ и $\left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{d}}\right)$, получим:

$\left(\left(\sqrt{a}\right)^2 + \left(\sqrt{b}\right)^2 + \left(\sqrt{c}\right)^2 + \left(\sqrt{d}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{d}}\right)^2\right) \geq \left(\sqrt{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{b} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} + \sqrt{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{c}} + \sqrt{d} \cdot \frac{1}{\sqrt{d}}\right)^2.$