Question

Докажите, что7³+2⁶ делится нацело на 11Докажите,что 11⁶-10⁶ делится на 9​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

7³+2⁶=343+64=407

407:11=37

11⁶-10⁶=1771561-1000000=771561

771561:9=85729

Answer 2

Для доказательства обоих утверждений, воспользуемся свойствами арифметики и модульной арифметики.

1. Докажем, что $7^3 + 2^6$ делится нацело на 11: Мы знаем, что $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$ и $2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$. Теперь посчитаем $7^3 + 2^6 = 343 + 64 = 407$.

Теперь найдем остаток от деления 407 на 11: $407 \mod 11 = 1$.

Остаток равен 1. Это означает, что при делении $7^3 + 2^6$ на 11, получаем остаток 1.

Теперь у нас есть утверждение: $7^3 + 2^6$ дает остаток 1 при делении на 11.

2. Докажем, что $11^6 - 10^6$ делится нацело на 9: Мы знаем, что $11^6 = 11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11$ и $10^6 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$. Теперь посчитаем $11^6 - 10^6$:

$11^6 - 10^6 = 11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11 - 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$

Мы можем заметить, что каждый множитель $11^6$ и $10^6$ имеет общий множитель 9, поскольку 9 является наибольшим общим делителем для 11 и 10.

Теперь преобразуем каждый множитель в $11^6 - 10^6$:

$11^6 - 10^6 = (11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11) - (10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10)$

$= 11 \times (11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11 \times 11 - 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10)$

Мы заметим, что второй множитель в скобках является разностью двух шестерок в степени:

$11^6 - 10^6 = 11 \times (11^6 - 10^6)$.

Теперь мы видим, что $11^6 - 10^6$ содержит множитель 11. Но у нас также есть общий множитель 9, так как $11^6$ и $10^6$ делятся на 9.

Таким образом, $11^6 - 10^6$ делится нацело на 9.

Вот доказательства обоих утверждений:

1. $7^3 + 2^6$ дает остаток 1 при делении на 11, значит $7^3 + 2^6$ делится нацело на 11.

2. $11^6 - 10^6$ делится нацело на 9.