Question

Интеграл (x+1)ln(x)^2​

Answer 1

Ответ:

==========================

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(x+1)ln(x)^2 dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫u * dv = uv - ∫v * du,

где u и v - функции, а du и dv - их дифференциалы.

Применяя эту формулу к нашему интегралу, мы выберем:

u = ln(x)^2 => du = 2ln(x) * (1/x) dx = 2ln(x)/x dx, dv = (x + 1) dx => v = (1/2)x^2 + x.

Теперь мы можем записать наш интеграл в новой форме:

∫(x+1)ln(x)^2 dx = ∫u * dv = uv - ∫v * du = (1/2)x^2ln(x)^2 + xln(x)^2 - ∫[(1/2)x^2 + x] * (2ln(x)/x) dx = (1/2)x^2ln(x)^2 + xln(x)^2 - 2∫ln(x) dx - 2∫ln(x) dx.

Здесь первые два члена получены простым применением формулы интегрирования по частям, а последний интеграл ∫ln(x) dx является интегралом натурального логарифма, который можно взять с помощью стандартных методов.

∫ln(x) dx = xln(x) - x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

∫(x+1)ln(x)^2 dx = (1/2)x^2ln(x)^2 + xln(x)^2 - 2(xln(x) - x) + C = (1/2)x^2ln(x)^2 + xln(x)^2 - 2xln(x) + 2x + C,

где C - произвольная постоянная.