Question

Решите уравнение3sin^2x + 2√3 sin x cos x + cos^2 x = 0​

Answer 1

$3sin^2x+2\sqrt3sinx\cdot cosx+cos^2x=0\; |:cos^2x\ne 0\\\\3tg^2x+2\sqrt3tgx+1=0\\\\tgx=t\; \; ,\; \; 3t^2+2\sqrt3t+1=0\; \; ,\; \; D=4\cdot 3-4\cdot 3=0\; ,\\\\(\sqrt3t+1)^2=0\; \; ,\; \; \sqrt3t+1=0\; ,\; t=-\frac{1}{\sqrt3}\; ,\; \; t=-\frac{\sqrt3}{3}\\\\tgx=-\frac{\sqrt3}{3}\; ,\; \; x=-\frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\Otvet:\; \; \underline {x=-\frac{\pi}{6}+\pi n\; ,\; n\in Z\; .}$

Answer 2

Ответ:во вложении Объяснение:

Answer 3

Данное уравнение является квадратным относительно sin x. Для решения заменим sin^2 x на 1 - cos^2 x:

3(1 - cos^2 x) + 2√3 sin x cos x + cos^2 x = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3 - 3cos^2 x + 2√3 sin x cos x + cos^2 x = 0

Сгруппируем члены с cos^2 x и sin x cos x:

(-2√3 cos^2 x + 2√3 sin x cos x) + (3 - cos^2 x + cos^2 x) = 0

2√3(cos x sin x - cos^2 x) + 3 = 0

2√3(cos x sin x - cos^2 x) = -3

Делаем замену:

cos x = t

2√3(t√(1 - t^2) - t^2) = -3

2√3t√(1 - t^2) - 2√3t^2 + 3 = 0

Упростим:

√3t√(1 - t^2) - √3t^2 + 3/2 = 0

√3t√(1 - t^2) = √3t^2 - 3/2

Возведем обе части уравнения в квадрат:

3t^2(1 - t^2) = 3t^4 - 3t^2 + 9/4

3t^2 - 3t^4 = 3t^4 - 3t^2 + 9/4

6t^4 - 6t^2 + 9/4 = 0

Умножим уравнение на 4 для избавления от дроби:

24t^4 - 24t^2 + 9 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно t^2. Пусть z = t^2:

24z^2 - 24z + 9 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена:

z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 24, b = -24 и c = 9. Подставим значения:

z = (-(-24) ± √((-24)^2 - 4 * 24 * 9)) / (2 * 24)

z = (24 ± √(576 - 864)) / 48

z = (24 ± √(-288)) / 48

Так как дискриминант отрицательный, корней в действительных числах нет. Следовательно, и корней для t^2 (или cos x) нет.

Поэтому уравнение 3sin^2 x + 2√3 sin x cos x + cos^2 x = 0 не имеет решений.