Question

Решите неравенства a) (x-2)³(x+1)(x-1)²(x²+2x+5)<0б)(x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5)>0в)√x(x+2)>0г)(x²+1)(x²+x-1)(x+5)³>0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)  отмечаем на числовой прямой нули функции  ____(-1)___(1)____(2)___,

знаки слева направо  +  -  -  +,  отв.(-1;1),  (1;2),  при х=1 четный показатель,

знак не меняется.

2) отмечаем  ___(-5)___(-1)___(0)___(2)___(3)___,знаки   +,  -,  -,  +,  -,  + ,

отв.  (-~;-5), (0;2), (3:+~0

3) x>-2 и x>0,  отв  x>0

Answer 2

Для решения этих неравенств, нужно определить интервалы, на которых выражение меньше или больше нуля. Чтобы найти эти интервалы, следует выполнить следующие шаги:

a) (x-2)³(x+1)(x-1)²(x²+2x+5) < 0

1. Найдем точки разрыва (точки, в которых выражение обращается в ноль): x - 2 = 0 => x = 2 x + 1 = 0 => x = -1 x - 1 = 0 => x = 1 x² + 2x + 5 = 0 - это уравнение квадратное и его корни могут быть найдены с помощью дискриминанта, но заметим, что коэффициенты у квадратного члена положительны (1 и 2), поэтому его корни являются комплексными числами и нам не интересны.

2. Построим таблицу знаков:

   markdownCopy code
       x < -1       -1 < x < 1      1 < x < 2       x > 2
   

(x-2)³ - - + + (x+1) - 0 + + (x-1)² + 0 + + (x²+2x+5) + + + +

3. Теперь посмотрим на знак произведения в каждом интервале:

-1 < x < 1: (x-2)³(x+1)(x-1)²(x²+2x+5) < 0 1 < x < 2: (x-2)³(x+1)(x-1)²(x²+2x+5) > 0 x < -1, x > 2: (x-2)³(x+1)(x-1)²(x²+2x+5) > 0

Ответ: Решением неравенства a) является x < -1 или 1 < x < 2.

б) (x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5) > 0

1. Найдем точки разрыва: x - 3 = 0 => x = 3 x - 2 = 0 => x = 2 x + 1 = 0 => x = -1 x + 5 = 0 => x = -5

2. Построим таблицу знаков:

   Copy code
     x < -5       -5 < x < -1      -1 < x < 2       2 < x < 3      x > 3
   

(x-3)² + + + + + (x-2) + + + 0 + x - - - + + (x+1)⁴ + + + + + (x+5) - - - - +

3. Теперь посмотрим на знак произведения в каждом интервале:

-5 < x < -1: (x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5) > 0 -1 < x < 2: (x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5) < 0 2 < x < 3: (x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5) > 0 x < -5, x > 3: (x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5) < 0

Ответ: Решением неравенства б) является x < -5 или -1 < x < 2.

в) √x(x+2) > 0

Так как корень всегда неотрицателен, то данное неравенство выполняется для всех значений x, когда выражение под корнем больше нуля:

x > 0 и x + 2 > 0

Ответ: Решением неравенства в) является x > 0.

г) (x²+1)(x²+x-1)(x+5)³ > 0

1. Найдем точки разрыва: x² + 1 = 0 - это уравнение не имеет действительных корней, так как x² всегда неотрицательно, а прибавление положительного числа (1) не изменит этот факт. x² + x - 1 = 0 - это уравнение квадратное, его корни могут быть найдены с помощью дискриминанта, но заметим, что коэффициенты у квадратного члена положительны (1 и 1), поэтому его корни являются комплексными числами и нам не интересны. x + 5 = 0 => x = -5

2. Построим таблицу знаков:

   Copy code
     x < -5          -5 < x < ∞
   

(x²+1) + + (x²+x-1) + + (x+5) + 0

3. Теперь посмотрим на знак произведения в каждом интервале:

x < -5: (x²+1)(x²+x-1)(x+5)³ < 0 x > -5: (x²+1)(x²+x-1)(x+5)³ > 0

Ответ: Решением неравенства г) является x > -5.

Итак, резюмируя:

a) Решением неравенства (x-2)³(x+1)(x-1)²(x²+2x+5) < 0 является x < -1 или 1 < x < 2.

б) Решением неравенства (x-3)²(x-2)x/(x+1)⁴(x+5) > 0 яв