Question

Найдите все многочлены x^2 +px + q, такие что x^2 +px + q=(x-p)(x-q)

Answer 1

(x-p)·(x-q)=x²-px-qx+pq=x²-(p+q)x+pq

х²+px+q=x²-(p+q)x+pq

{p=-(p+q)

{q=pq⇒q-pq=0⇒  q·(1-p)=0   q=0   или  p=1

Подставляем в первое

q=0  ⇒p=0

p=1⇒  q=-2

О т в е т. p=0;q=0   или   p=1;q=-2

Answer 2

Чтобы найти все многочлены вида x^2 + px + q, которые могут быть представлены в виде произведения (x - p)(x - q), нужно найти значения p и q, которые удовлетворяют этому условию. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях x на обеих сторонах уравнения.

Уравнение, которое нам дано: x^2 + px + q = (x - p)(x - q)

Раскроем правую сторону: (x - p)(x - q) = x^2 - qx - px + pq = x^2 - (p + q)x + pq

Теперь уравняем коэффициенты при одинаковых степенях x на обеих сторонах уравнения:

Коэффициент при x^2: 1 = 1 (должны быть равны)

Коэффициент при x: p + q = p (должны быть равны)

Коэффициент при x^0 (свободный член): pq = q (должны быть равны)

Из первого уравнения следует, что 1 = 1, что верно.

Из второго уравнения видно, что p + q = p, и если вычесть p с обеих сторон, то получим: q = 0

Из третьего уравнения получаем, что pq = q, а так как q = 0, то: p * 0 = 0 p = любое число

Итак, мы получили, что q = 0, а p может быть любым числом.

Таким образом, все многочлены вида x^2 + px + q, которые могут быть представлены в виде произведения (x - p)(x - q), имеют вид: x^2 + px + 0, где p - любое число.