Question

Найти первообразную функции y=f(x), график которой проходит через данную точку а) y=x²; D(3;0) б) y=2cos²x/2-1; M(π/3; 16)

Answer 1

Чтобы найти первообразную функции $y = f(x)$, график которой проходит через указанные точки, вам нужно найти такую функцию $F(x)$, производная которой будет равна заданной функции $f(x)$, и затем использовать условие прохождения через указанные точки для определения констант интегрирования.

а) $y = x^2$, $D(3,0)$:

Дана функция $f(x) = x^2$. Чтобы найти первообразную $F(x)$, мы интегрируем функцию $f(x)$ по $x$: $F(x) = \int f(x) \, dx = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$ где $C$ - константа интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение $C$, используем условие $D(3,0)$, где $x = 3$ и $y = 0$: $0 = \frac{3^3}{3} + C$ $0 = 9 + C$ $C = -9$

Итак, первообразная функции $y = x^2$, проходящая через точку $D(3,0)$, будет: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 9$

б) $y = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1$, $M\left(\frac{\pi}{3}, 16\right)$:

Дана функция $f(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1$. Проинтегрируем её по $x$: $F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right) \, dx$

Разделим интеграл на две части: $F(x) = 2\int \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \, dx - \int 1 \, dx$

Используем тригонометрическую идентичность $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$: $F(x) = 2\int \frac{1 + \cos(x)}{2} \, dx - \int dx$

$F(x) = \int (1 + \cos(x)) \, dx - \int dx$

$F(x) = x + \int \cos(x) \, dx - \int dx$

$F(x) = x + \sin(x) - x + C = \sin(x) + C$

Теперь, чтобы найти значение $C$, используем условие $M\left(\frac{\pi}{3}, 16\right)$: $16 = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + C$ $16 = \frac{\sqrt{3}}{2} + C$ $C = 16 - \frac{\sqrt{3}}{2}$