Question

Кр алгебра 10 класс найдите производную функции по определению f(x) =3x^2 и докажите что функция непрерывна

Answer 1

$y=3x^2\\\\\\\Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)=3(x_0+\Delta x)^2-3x_0^2=\\\\=3(x_0+2x_0\cdot \Delta x+\Delta x^2)-3x_0^2=3\, \Delta x\cdot (2x_0+\Delta x)\\\\\\y'(x_0)=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{3\Delta x\cdot (2x_0+\Delta x)}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\, (6x_0+\underbrace {3\Delta x}_{\to \; 0})=6x_0\\\\\\(3x^2)'=6x$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = 3x^2 по определению, мы должны воспользоваться определением производной, которое гласит:

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

Давайте применим это определение к функции f(x) = 3x^2:

f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

f(x + h) = 3(x + h)^2 = 3(x^2 + 2hx + h^2) = 3x^2 + 6hx + 3h^2

Теперь подставим это обратно в определение производной:

f'(x) = lim(h->0) [(3x^2 + 6hx + 3h^2) - 3x^2] / h = lim(h->0) (6hx + 3h^2) / h = lim(h->0) 6x + 3h = 6x

Таким образом, производная функции f(x) = 3x^2 равна 6x.

Чтобы доказать, что функция непрерывна, мы должны показать, что она непрерывна в каждой точке своего области определения. В данном случае, функция f(x) = 3x^2 определена для любого действительного значения x.

Для доказательства непрерывности, нам нужно показать, что предел функции f(x) при x, стремящемся к какому-либо значению a, равен значению функции в точке a.

lim(x->a) f(x) = lim(x->a) 3x^2 = 3a^2 = f(a)

Таким образом, функция f(x) = 3x^2 непрерывна для любого действительного значения x.