Question

Перший член арифметичної прогресії дорівнює -4, а її різниця дорівнює 2. Скільки треба взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала 84. Распишите пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

$a_1=-4;d=2;S_n=84$

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n$

$\frac{2*(-4)+(n-1)*2}{2}*n=84$

$(-4+n-1)n=84$

$(n-5)n-84=0$

$n^2-5n-84=0$

$(n-12)(n+7)=0$

$n-12=0;n_1=12$

$n+7=0;n_2=-7$ - не підходить, так як -7 не натуральне число

Answer 2

Для розв'язання цього завдання, давайте спочатку знайдемо загальний вираз для першого члена арифметичної прогресії (a₁) та для різниці (d). Відомо, що перший член (a₁) дорівнює -4, а різниця (d) дорівнює 2.

Загальний вираз для k-го члена арифметичної прогресії (aₖ) може бути записаний як: aₖ = a₁ + (k-1) * d,

де k - номер члена прогресії.

Також існує формула для знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії (Sₙ): Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ),

де aₙ - n-й член прогресії.

Ми хочемо знайти, скільки перших членів прогресії (n) треба взяти, щоб їх сума дорівнювала 84, тобто Sₙ = 84. Підставимо відомі значення в формулу для Sₙ:

84 = (n/2) * (-4 + aₙ).

Тепер нам потрібно знайти aₙ. Щоб це зробити, нам спочатку потрібно знайти n.

Так як у нас різниця d = 2, ми можемо скласти рівняння для знаходження n: aₙ = -4 + (n-1) * 2.

Також ми знаємо, що сума Sₙ дорівнює 84:

84 = (n/2) * (-4 + (-4 + (n-1) * 2)).

Тепер розв'яжемо це рівняння для n:

84 = (n/2) * (-4 - 4 + 2n - 2).

84 = (n/2) * (2n - 10).

Поділимо обидві сторони на 2:

42 = n^2 - 5n.

Зведемо до квадратного рівняння:

n^2 - 5n - 42 = 0.

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння:

n = (5 ± √(5^2 + 4142)) / 2.

n = (5 ± √(25 + 168)) / 2.

n = (5 ± √193) / 2.

Таким чином, ми маємо два значення для n:

n₁ = (5 + √193) / 2 ≈ 8.96.

n₂ = (5 - √193) / 2 ≈ -3.96.

Оскільки n не може бути від'ємним, ми візьмемо значення n = 9.

Тепер ми знаємо, що щоб сума перших членів прогресії дорівнювала 84, треба взяти 9 перших членів прогресії. Іншими словами, потрібно взяти члени прогресії від a₁ до a₉. Перші 9 членів прогресії будуть:

a₁ = -4, a₂ = -4 + 2 = -2, a₃ = -4 + 2 * 2 = 0, a₄ = -4 + 3 * 2 = 2, a₅ = -4 + 4 * 2 = 4, a₆ = -4 + 5 * 2 = 6, a₇ = -4 + 6 * 2 = 8, a₈ = -4 + 7 * 2 = 10, a₉ = -4 + 8 * 2 = 12.

Сума перших 9 членів прогресії:

S₉ = (9/2) * (-4 + 12) = 9 * 8 = 72.

Якщо ми додамо 10-й член прогресії (a₁₀ = -4 + 9 * 2 = 16) до суми, отримаємо 72 + 16 = 88, що більше за 84. Тому, взявши перші 9 членів прогресії, ми отримаємо суму 84.