Question

Решить систему уравнений xy/(x+3y) + (x+3y)/xy =2; xy/(x-y) + (x-y)/xy = 5/2;

Answer 1

{u+(1/u)=2⇒  u=1

{v+(1/v)=(5/2)⇒v=2   или  v=1/2

Обратная замена  приводит к двум системам, решение которых которые не представляет труда .

1)

{xy/(x+3y)=1⇒xy=x+3y

{xy/(x-y)=2⇒xy=2x-2y

или

2)

{xy/(x+3y)=1⇒xy=x+3y

{xy/(x-y)=1/2⇒2xy=x-y

Решаем способом подстановки.

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

Система уравнений:

1. $\frac{xy}{x+3y} + \frac{x+3y}{xy} = 2$
2. $\frac{xy}{x-y} + \frac{x-y}{xy} = \frac{5}{2}$

Для начала, давайте преобразуем каждое уравнение отдельно.

Уравнение 1: $\frac{xy}{x+3y} + \frac{x+3y}{xy} = 2$

Умножим оба слагаемых на $xy$, чтобы избавиться от дробей:

$xy \cdot \frac{xy}{x+3y} + xy \cdot \frac{x+3y}{xy} = 2xy$

Теперь упростим:

$x^2 + 3xy + x + 3y = 2xy$

Уравнение 2: $\frac{xy}{x-y} + \frac{x-y}{xy} = \frac{5}{2}$

Аналогично, умножим оба слагаемых на $xy$:

$xy \cdot \frac{xy}{x-y} + xy \cdot \frac{x-y}{xy} = \frac{5}{2} \cdot xy$

Получаем:

$x^2 - xy + x - y = \frac{5}{2} \cdot xy$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $x^2 + 3xy + x + 3y = 2xy$
2. $x^2 - xy + x - y = \frac{5}{2} \cdot xy$

Давайте решим эту систему методом подстановки. Выразим, например, $y$ из первого уравнения:

$x^2 + 3xy + x + 3y = 2xy$

$3y = 2xy - x^2 - 3xy - x$

$3y = -x^2 - xy - x$

$y = \frac{-x^2 - xy - x}{3}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x^2 - xy + x - \frac{-x^2 - xy - x}{3} = \frac{5}{2} \cdot xy$

Решим это уравнение относительно $x$. После упрощения получится квадратное уравнение. Решив его, найдем значения $x$, а затем подставим их в выражение для $y$, чтобы найти соответствующие значения $y$.

После нахождения $x$ и $y$ можно будет проверить полученные значения, подставив их в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они действительно удовлетворяют системе уравнений.