Question

Помогите пожалуйста дам 20б. Решить уравнение используя снижения порядка x(y''+1)+y'=0

Answer 1

Понизим порядок с помощью замены $y'=u$, тогда $y''=u'$

$x(u'+1)+u=0\\ \\ u'x+u=-x\\ \\ (u\cdot x)'=-x\\ \\ \displaystyle ux=\int -xdx~~~\Rightarrow~~~ ux=-\dfrac{x^2}{2}+C_1\\ \\ u=\dfrac{-x}{2}+\dfrac{C_1}{x}$

Выполним обратную замену

$y'=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\\ \\ \displaystyle y=\int \left(-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C_1}{x}\right)dx\\ \\ \\ \boxed{y=-\dfrac{x^2}{4}+C_1\ln |x|+C_2}$

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение с помощью метода снижения порядка.

Для начала, давайте введем новую переменную: пусть v = y'. Тогда уравнение примет вид:

x(y'' + 1) + y' = x(v' + 1) + v = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение для переменной v. Для этого выразим v':

v' = -1 - x/v.

Теперь у нас есть уравнение с разделяющимися переменными. Мы можем разделить переменные и проинтегрировать обе стороны:

∫ v/v' dv = ∫ -1/x dx.

Интегрирование дает:

∫ v/v' dv = -∫ 1/x dx.

Для левой части, используем замену переменных u = v':

∫ du = -∫ 1/x dx,

ln|u| = -ln|x| + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к переменной v:

ln|v'| = ln|x| + C1.

Возведем обе стороны в экспоненту:

|v'| = e^(ln|x| + C1).

|v'| = e^(ln|x|) * e^(C1).

Так как e^(ln|x|) = |x|, упростим:

|v'| = |x| * e^(C1).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если v' = y' ≠ 0:

Тогда |y'| = |x| * e^(C1).

Интегрируем обе стороны по x:

∫ |y'| dx = ∫ |x| * e^(C1) dx.

Для правой части, учтем, что |x| = x, если x >= 0, и |x| = -x, если x < 0:

∫ |y'| dx = ∫ x * e^(C1) dx, при x >= 0, ∫ |y'| dx = ∫ -x * e^(C1) dx, при x < 0.

Для первого случая:

∫ y' dx = ∫ x * e^(C1) dx.

y = (1/2) * x^2 * e^(C1) + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

2. Если v' = y' = 0:

Тогда y = C3, где C3 - постоянная.

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

y = (1/2) * x^2 * e^(C1) + C2, если v' = y' ≠ 0, y = C3, если v' = y' = 0.

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать.