Question

1)logx 81 +log3 x-5=0; 2)logx 4-log2 x+1=0; решите логарифмическое уравнение

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)

logₓ81+log₃x-5=0  ОДЗ: x>0     x≠1      x∈(0;1)U(1;+∞).

logₓ3⁴+log₃x-5=0

4*logₓ3+log₃x-5=0

(4/log₃x)+log₃x-5=0

4+log₃²x-5*log₃x=0

Пусть log₃x=t   ⇒

t²-5t+4=0    D=9    √9=3

t₁=log₃x=4      x=3⁴        x₁=81

t₂=log₃x=1      x=3¹         x₂=3.

Ответ: x₁=81       x₂=3.

2)

logₓ4-log₂x+1=0       ОДЗ: x>0    x≠1       ⇒      x∈(0;1)U(1;+∞).

logₓ2²-log₂x+1

2*logₓ2-log₂x+1=0

(2/log₂x)-log₂x+1=0

2-log₂²x+log₂x=0  |×(-1)

log₂²x-log₂x-2=0

Пусть log₂x=t    ⇒

t²-t-2=0     D=9    √D=3

t₁=log₂x=2       x=2²      x₁=4

t₂=log₂x=-1       x=2⁻¹    x₂=1/2.

Ответ: x₁=4       x₂=1/2.

Answer 2

Давайте решим оба логарифмических уравнения по очереди:

1. logx(81) + log3(x) - 5 = 0

Для упрощения уравнения, воспользуемся свойством логарифмов: log(a) + log(b) = log(a * b)

Таким образом, уравнение можно переписать:

logx(81 * 3^log3(x)) - 5 = 0

Теперь выразим логарифмическое выражение без логарифма:

81 * 3^log3(x) = x^5

Поскольку у нас здесь есть два разных основания логарифмов, рекомендуется применить численные методы или графический метод для решения этого уравнения.

2. logx(4) - log2(x + 1) = 0

Опять же, используем свойство логарифмов: log(a) - log(b) = log(a/b)

Теперь уравнение можно переписать:

logx(4 / (x + 1)) = 0

Из определения логарифма мы знаем, что логарифм от числа равен нулю только тогда, когда само число равно 1.

Таким образом, 4 / (x + 1) = 1

Решим уравнение:

4 = x + 1

x = 4 - 1

x = 3

Ответ: x = 3

Обратите внимание, что второе уравнение можно легко решить аналитически, в то время как первое уравнение более сложное и может быть решено численно или графически.