Question

Даны три некомпланарных вектора: а( 3 ; 3; 4 ), б(-2 ; 0 ; 2 ), с ( 5 ; -3;2 ). Разложите вектор д ( 3; 6 ;4 ) по данным векторам

Answer 1

Запишем искомое разложение вектора d:

$\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$

$x\vec{a}=\{3x; \ 3x; \ 4x\}\\y\vec{b}=\{-2y; \ 0; \ 2y\}\\z\vec{c}=\{5z; \ -3z; \ 2z\}$

$\vec{d}=\{3; \ 6; \ 4\}$

Составим систему, пользуясь тем, что координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов:

$\begin{cases} 3x-2y+5z=3 \\ 3x-3z=6 \\ 4x+2y+2z=4\end{cases}$

$\begin{cases} 3x-2y+5z=3 \\ x-z=2 \\ 2x+y+z=2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим х:

$x=z+2$

Подставляем в оставшиеся уравнения:

$\begin{cases} 3(z+2)-2y+5z=3 \\ 2(z+2)+y+z=2\end{cases}$

$\begin{cases} 3z+6-2y+5z=3 \\ 2z+4+y+z=2\end{cases}$

$\begin{cases} 8z-2y=-3 \\ 3z+y=-2\end{cases}$

Из второго уравнения выражаем у:

$y=-2-3z$

Подставляем в первое, находим z:

$8z-2(-2-3z)=-3\\8z+4+6z=-3\\14z=-7\\\Rightarrow z=-\dfrac{1}{2}$

Находим у:

$y=-2-3z\\y=-2-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}$

Находим х:

$x=z+2\\x=-\dfrac{1}{2}+2\\\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$

Разложение вектора d:

$\boxed{\vec{d}=\dfrac{3}{2} \vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}-\dfrac{1}{2}\vec{c}}$

Answer 2

Чтобы разложить вектор d(3; 6; 4) по заданным векторам a(3; 3; 4), б(-2; 0; 2) и с(5; -3; 2), выполним процесс ортогонализации Грама-Шмидта:

1. Нормализуем вектора a, b и c: a' = a / |a| = (3/5; 3/5; 4/5) b' = b / |b| = (-1/3; 0; 2/3) c' = c / |c| = (5/6; -1/2; 1/3)

2. Найдем проекции вектора d на каждый из ортогональных базисных векторов: proj_d_a = d * a' = (3; 6; 4) * (3/5; 3/5; 4/5) = (9/5; 18/5; 12/5) proj_d_b = d * b' = (3; 6; 4) * (-1/3; 0; 2/3) = (-1; 0; 8/3) proj_d_c = d * c' = (3; 6; 4) * (5/6; -1/2; 1/3) = (5/2; -3; 2)

3. Теперь найдем разложение вектора d по заданным векторам: d = proj_d_a + proj_d_b + proj_d_c = (9/5; 18/5; 12/5) + (-1; 0; 8/3) + (5/2; -3; 2) = (9/5 - 5/2 - 1; 18/5 - 3; 12/5 + 8/3 + 2) = (-1/10; 3/5; 49/15)

Таким образом, разложение вектора d(3; 6; 4) по заданным векторам a(3; 3; 4), б(-2; 0; 2) и с(5; -3; 2) будет d = (-1/10; 3/5; 49/15).