Question

Найдите точку максимума функции y=x^3-5x^2+16

Answer 1

Ответ:

0

Объяснение:

y=x³-5x²+16

Определяем 1-ю производную функции:

y'=3x²-10x

Приравниваем к нулю:

3x²-10x=0

x(3x-10)=0

x₁=0

3x-10=0; x₂=10/3

Вычисляем значения функции:

f'(0)=0³-5·0²+16=16

f'(10/3)=(10/3)³-5·(10/3)²+16=1000/27 -1500/27 +16=-2 14/27

fmin=-2 14/27; fmax=16

Определяем 2-ю производную функции:

y''=6x-10

Вычисляем значения функции:

f''(0)=6·0-10=-10<0⇒x=0 - точка максимума функции.

f''(10/3)=6·10/3 -10=20-10=10>0⇒x=10/3=3 1/3 - точка минимума функции.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции, нужно найти точку, в которой производная функции равна нулю и она меняет свой знак с "плюс" на "минус". То есть, нужно найти x такое, что y'(x) = 0 и y''(x) < 0.

Давайте найдем производные функции y(x):

y'(x) = d/dx (x^3 - 5x^2 + 16) y'(x) = 3x^2 - 10x

y''(x) = d/dx (3x^2 - 10x) y''(x) = 6x - 10

Теперь найдем точку, в которой y'(x) = 0:

3x^2 - 10x = 0

Для решения этого уравнения, вынесем общий множитель:

x(3x - 10) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 10/3.

Теперь проверим, меняет ли y''(x) знак на интервалах (-∞, 0), (0, 10/3) и (10/3, +∞):

Для x < 10/3 (например, x = 0): y''(x) = 6x - 10 y''(0) = 6(0) - 10 = -10 (отрицательное значение)

Для 0 < x < 10/3 (например, x = 1): y''(x) = 6x - 10 y''(1) = 6(1) - 10 = -4 (отрицательное значение)

Для x > 10/3 (например, x = 4): y''(x) = 6x - 10 y''(4) = 6(4) - 10 = 14 (положительное значение)

Таким образом, y''(x) < 0 для всех значений x меньше 10/3, и y''(x) > 0 для всех значений x больше 10/3. Значит, x = 10/3 является точкой максимума.

Теперь найдем значение y в этой точке:

y(x) = x^3 - 5x^2 + 16 y(10/3) = (10/3)^3 - 5(10/3)^2 + 16 y(10/3) = 370/27 ≈ 13.7037

Таким образом, точка максимума функции y=x^3-5x^2+16 находится при x = 10/3 (приблизительно 3.3333) и имеет значение y ≈ 13.7037.