Question

Найдите наименьшее значение функции y = x√x - 15x + 72 на отрезке [50; 126]

Answer 1

Ответ:

-428

Объяснение:

т.к. это парабола и если находить m и n -это её вершина,то значение n(y) будет наименьшим

Answer 2

Ответ:

-428

Объяснение:

y(x)=x√x - 15x + 72;  x∈[50; 126]; miny(x)=?

√x=t⇒x√x=t³; t∈[5√2;3√14]

g(t)=t³-15t²+72

$g^{'}(t)= 3t^{2}-30t=3t(t-10)$

t∈(-∞;0)∪(10;+∞)⇒$g^{'}(t)>0$⇒g(t) возрастает

t∈(0;10)⇒$g^{'}(t)$⇒g(t) убывает

0<5√2< 10<11,1=3·3,7=3·√13,69<3√14

Получается,что на отрезке (5√2;10) функция g(t) убывает, а на отрезке (10;3√14)  функция g(t) возрастает. Значить на интервале t∈[5√2;3√14] минимум данной функции в точке t=10.

miny(x)=ming(t)=g(10)=10³-15·10²+72=1000-1500+72=-428

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции y на заданном отрезке [50, 126], нужно проанализировать значения функции в его концах (x = 50 и x = 126) и в критических точках, где производная функции равна нулю.

1. Найдем значения функции в концах отрезка:

   • При x = 50: y = 50√50 - 15*50 + 72 ≈ 160.71
   • При x = 126: y = 126√126 - 15*126 + 72 ≈ 724.73

2. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: y = x√x - 15x + 72 y' = (3√x + 1)√x - 15

   Приравниваем y' к нулю и решаем уравнение: 0 = (3√x + 1)√x - 15 (3√x + 1)√x = 15 3√x + 1 = 15/√x 3√x = 15/√x - 1 3x = 15 - √x √x = 15 - 3x x = (15 - 3x)^2 x = 225 - 90x + 9x^2 9x^2 - 91x + 225 = 0

   Решим квадратное уравнение: x = (-(-91) ± √((-91)^2 - 49225)) / (2*9) x = (91 ± √(8281 - 8100)) / 18 x = (91 ± √181) / 18

   Получаем две критические точки: x₁ ≈ 3.28 x₂ ≈ 7.56

3. Проверим значения функции в найденных критических точках:

   • При x ≈ 3.28: y ≈ 3.28√3.28 - 15*3.28 + 72 ≈ 50.97
   • При x ≈ 7.56: y ≈ 7.56√7.56 - 15*7.56 + 72 ≈ 28.63

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке [50, 126] равно приближенно 28.63 и достигается при x ≈ 7.56.