Question

Знайдіть суму нескiнченноЇ геометричної прогресії (bn) якщо b2=-90 i b5=80/3

Answer 1

$b_5=b_1q^4=b_2q^3~~~\Rightarrow~~ q=\sqrt[3]{\dfrac{b_5}{b_2}}=\sqrt[3]{\dfrac{80/3}{-90}}=-\dfrac{2}{3}$

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії:

$S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{b_1q}{q(1-q)}=\dfrac{b_2}{q(1-q)}=\dfrac{-90}{-\dfrac{2}{3}\cdot \left(1+\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{135}{3+2}=27$

Answer 2

Для знаходження суми нескінченної геометричної прогресії, нам потрібно знайти спільний знаменник та перший член прогресії. Геометрична прогресія визначається формулою bₙ = b₁ * r^(n-1), де bₙ - n-тий член прогресії, b₁ - перший член прогресії, r - спільний знаменник, n - номер члена прогресії.

Маємо дані: b₂ = -90, b₅ = 80/3.

Ми можемо виразити спільний знаменник r, використовуючи два дані члени прогресії: b₂ = b₁ * r, b₅ = b₁ * r^4.

Розділимо друге рівняння на перше: b₅ / b₂ = (b₁ * r^4) / (b₁ * r) = r^3.

Тепер підставимо значення b₂ та b₅: -90 = b₁ * r, 80/3 = b₁ * r^3.

З першого рівняння виразимо b₁: b₁ = -90 / r.

Підставимо отримане значення b₁ у друге рівняння: 80/3 = (-90 / r) * r^3.

Спростимо рівняння: 80/3 = -90 * r^2.

Поділимо обидві сторони на -90: -8/27 = r^2.

Знаючи r^2, знайдемо r: r = ±√(-8/27).

Маємо два можливих значення для r. Оскільки геометрична прогресія може бути лише зростаючою чи спадаючою, ми візьмемо позитивне значення √(-8/27).

Тепер ми можемо знайти b₁, використовуючи рівняння b₁ = -90 / r: b₁ = -90 / √(-8/27).

Знайдені значення b₁ та r дозволяють нам знайти суму нескінченної геометричної прогресії за формулою: S = b₁ / (1 - r).

Підставляючи значення: S = (-90 / √(-8/27)) / (1 - √(-8/27)).

Таким чином, ви можете використовувати цю формулу для знаходження суми нескінченної геометричної прогресії зі знайденими значеннями b₁ та r.