Question

У геометричній прогресії 4-ий член дорівнює 24, шостий дорівнює 96, а q>0. Знайдіть суму перших шести членів даної прогресії.

Answer 1

Ответ: S₆=189.

Объяснение:

b₄=24     b₆=96    q>0     S₆=?

{b₄=b₁q³=24         {b₁q³=24

{b₆=b₁q⁵=96         {b₁q⁵=96

Разделить второе уравнение на первое:

q²=4

q₁=2      q₂=-2 ∉.     ⇒

b₁*2³=24

8*b₁=24  |÷8

b₁=3.

S₆=3*(2⁶-1)/(2-1)=3*(64-1)/1=3*63=189.

Answer 2

Для геометричної прогресії знайдемо співвідношення між її членами:

Перший член прогресії: a₁ Другий член прогресії: a₂ = a₁ * q Третій член прогресії: a₃ = a₂ * q = a₁ * q * q Четвертий член прогресії: a₄ = a₃ * q = a₁ * q * q * q П'ятий член прогресії: a₅ = a₄ * q = a₁ * q * q * q * q Шостий член прогресії: a₆ = a₅ * q = a₁ * q * q * q * q * q

За умовою, 4-ий член дорівнює 24 (a₄ = 24) і шостий дорівнює 96 (a₆ = 96).

1. a₄ = a₁ * q * q * q = 24
2. a₆ = a₁ * q * q * q * q * q = 96

Тепер поділимо рівняння 2 на рівняння 1:

a₆ / a₄ = (a₁ * q * q * q * q * q) / (a₁ * q * q * q) = q * q

Отримали рівняння: q * q = 96 / 24 = 4

Знаходження q:

q^2 = 4

q = √4 = 2 (позитивне значення, оскільки за умовою q > 0).

Тепер знаходимо перший член прогресії a₁:

a₄ = a₁ * q * q * q = 24 a₁ * 2 * 2 * 2 = 24 a₁ * 8 = 24 a₁ = 24 / 8 = 3

Знаємо, що перший член геометричної прогресії a₁ = 3 і розмірність прогресії n = 6.

Тепер знайдемо суму перших шести членів прогресії S₆:

S₆ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ S₆ = 3 + (3 * 2) + (3 * 2 * 2) + 24 + (3 * 2 * 2 * 2 * 2) + 96 S₆ = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 S₆ = 189

Отже, сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює 189.