Question

Найдите действительные кратные множители многочлена и разложите его на множители f(x)=x^5+x^4-5x^3-x^2+8x-4

Answer 1

Ответ:

f(x)=(x-1)³(x+2)²

Объяснение:

f(x)=x⁵+x⁴-5x³-x²+8x-4=x⁵-x⁴+2x⁴-2x³-3x³+3x²-4x²+4x+4x-4=

=x⁴(x-1)+2x³(x-1)-3x²(x-1)-4x(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x⁴+2x³-3x²-4x+4)=

=(x-1)[(x⁴-4x²+4)+2x(x²-2)+x²]=(x-1)[(x²-2)²+2x(x²-2)+x²]=(x-1)[x²-2+x]²=

=(x-1)[x²+x-2]²=(x-1)[x²-x+2x-2]²=(x-1)[x(x-1)+2(x-1)]²=(x-1)[(x-1)(x+2)]²=

=(x-1)³(x+2)²

Answer 2

Чтобы найти действительные кратные множители многочлена, давайте воспользуемся методом подстановки.

Сначала, проверим, есть ли у многочлена действительные корни (кратные множители) путем подстановки некоторых значений x:

1. Попробуем x = 1: f(1) = 1^5 + 1^4 - 51^3 - 1^2 + 81 - 4 = 1 + 1 - 5 - 1 + 8 - 4 = 0

Значение равно нулю, что означает, что (x - 1) является множителем.

Теперь проведем деление многочлена f(x) на (x - 1) для определения оставшегося многочлена, который мы продолжим факторизовывать:

x^5 + x^4 - 5x^3 - x^2 + 8x - 4 ÷ (x - 1)

Раскроем деление, используя алгоритм деления многочленов:

markdownCopy code
            x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4
       ____________________________

(x - 1) | x^5 + x^4 - 5x^3 - x^2 + 8x - 4 - (x^5 - x^4) ___________________ 2x^4 - 5x^3 - (2x^4 - 2x^3) ____________ -3x^3 - x^2 - (-3x^3 + 3x^2) ______________ 2x^2 + 8x - (2x^2 - 2x) __________ 10x - 4 - (10x - 10) ____________ 6

Итак, мы получили остаток 6. Так как остаток не равен нулю, то (x - 1) не является кратным множителем.

Теперь, для продолжения разложения, попробуем другие возможные значения x, начиная с наименьшего простого числа (2):

2. Попробуем x = 2: f(2) = 2^5 + 2^4 - 52^3 - 2^2 + 82 - 4 = 32 + 16 - 40 - 4 + 16 - 4 = 16

Значение не равно нулю, поэтому (x - 2) не является множителем.

Теперь, когда мы исключили (x - 1) и (x - 2) в качестве множителей, можно предположить, что многочлен f(x) не имеет действительных кратных множителей. Теперь разложим его на недействительные множители.

Общая процедура для разложения многочлена, когда у него нет действительных кратных множителей, заключается в поиске комплексных корней.

Давайте воспользуемся формулой Картано (для многочленов пятой степени) или численными методами для нахождения корней многочлена f(x). Затем мы сможем разложить его на множители, используя найденные корни.

Однако, так как я ограничен в возможности выполнения сложных численных вычислений, а формулы могут быть громоздкими, я не могу предоставить разложение многочлена f(x) на множители без выполнения этих шагов.

Если у вас есть конкретные вопросы по определенным шагам в процедуре разложения или другим вопросам, пожалуйста, дайте знать, и я постараюсь помочь вам.