Question

1. Найти сумму первых 13 членов арифметической прогрессии, если ее 7-й член равен 4. 2.Разница 1-го и 3-го членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16 225, а сумма 2-го и 3-го членов равна 16 75. Найти сумму этой прогрессии.

Answer 1

1.

$></p> <p></p> <p>2.</p> <p><img src=$

Answer 2

1. Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),$ где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $a_n$ - $n$-ый член прогрессии.

Для нахождения суммы первых 13 членов, нам нужно сначала найти первый член и шаг арифметической прогрессии.

По условию, 7-й член равен 4. Также, если обозначить первый член прогрессии как $a$ и шаг как $d$, то седьмой член будет $a + 6d = 4$.

Теперь у нас есть два уравнения:

a + 6d = 4 \\ a + 12d = ? \end{cases} \] Для того, чтобы найти \(a + 12d\), нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} a + 6d = 4 \\ a + 12d = ? \end{cases} \] Вычитаем первое уравнение из второго: \[ (a + 12d) - (a + 6d) = 4 - 0 \] \[ 6d = 4 \] \[ d = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Теперь, чтобы найти \(a\), подставляем \(d\) в первое уравнение: \[ a + 6\left(\frac{2}{3}\right) = 4 \] \[ a + \frac{4}{3} = 4 \] \[ a = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] Теперь у нас есть первый член (\(a = \frac{8}{3}\)) и шаг (\(d = \frac{2}{3}\)). Мы можем найти сумму первых 13 членов прогрессии: \[ S_{13} = \frac{13}{2} \left( \frac{8}{3} + \frac{12}{3} \right) = \frac{13}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{260}{3} \approx 86.67 \] Ответ: сумма первых 13 членов арифметической прогрессии равна около 86.67. 2. По условию разница 1-го и 3-го членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16,225, а сумма 2-го и 3-го членов равна 16,075. Пусть первый член прогрессии равен \(a\) и знаменатель равен \(q\). Тогда у нас есть два уравнения: \[ \begin{cases} a - aq^2 = 16,225 \quad (1) \\ aq + aq^2 = 16,075 \quad (2) \end{cases} \] Теперь решим систему уравнений. Для этого вычтем уравнение (1) из уравнения (2): \[ (aq + aq^2) - (a - aq^2) = 16,075 - 16,225 \] \[ aq + aq^2 - a + aq^2 = -150 \] \[ 2aq^2 - a = -150 \] Теперь, чтобы найти \(a\), выразим его из уравнения: \[ a = \frac{-150}{2q^2 - 1} \] Теперь подставим \(a\) в уравнение (1): \[ a - aq^2 = 16,225 \] \[ \frac{-150}{2q^2 - 1} - \frac{-150q^2}{2q^2 - 1} = 16,225 \] Теперь найдем значение \(q\): \[ \frac{-150 - (-150q^2)}{2q^2 - 1} = 16,225 \] \[ -150 + 150q^2 = 16,225(2q^2 - 1) \] \[ -150 + 150q^2 = 32,45q^2 - 16,225 \] \[ 32,45q^2 - 150q^2 = 16,225 + 150 \] \[ 118,45q^2 = 166,225 \] \[ q^2 = \frac{166,225}{118,45} \] \[ q^2 \approx 1,4026 \] \[ q \approx \sqrt{1,4026} \] \[ q \approx 1,1846 \] Теперь, когда у нас есть значение \(q\), мы можем найти значение \(a\): \[ a = \frac{-150}{2(1,1846)^2 - 1} \] \[ a = \frac{-150}{2(1,4026) - 1} \] \[ a = \frac{-150}{2,3652 - 1} \] \[ a = \frac{-150}{1,3652} \] \[ a \approx -109,92 \] Теперь, когда у нас есть первый член (\(a \approx -109,92\)) и знаменатель (\(q \approx 1,1846\)), мы можем найти сумму этой геометрической прогрессии. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] \[ S = \frac{-109,92}{1 - 1,1846} \] \[ S = \frac{-109,92}{-0,1846} \] \[ S \approx 595,28 \] Ответ: сумма этой бесконечно убывающей геометрическ