Question

Решить дифференциальное уравнение, найти общее решение:(x-y)*y-x^2*y'=0

Answer 1

$(x-y)y-x^2y'=0$

Разделим уравнение на $x^2$:

$\left(1-\dfrac{y}{x} \right)\dfrac{y}{x}-y'=0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t\\\Rightarrow y=tx\\\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$(1-t)t-(t'x+t)=0$

$t-t^2-t'x-t=0$

$-t'x=t^2$

$-\dfrac{xdt}{dx} =t^2$

$-\dfrac{dt}{t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$-\int \dfrac{dt}{t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\dfrac{1}{t} =\ln|x|+\ln C$

$\dfrac{1}{t} =\ln Cx$

$t=\dfrac{1}{\ln Cx}$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\dfrac{1}{\ln Cx}$

$y=\dfrac{x}{\ln Cx}$

Ответ: $y=\dfrac{x}{\ln Cx}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Давайте решим его:

$(x - y) \cdot y - x^2 \cdot y' = 0$.

Для начала, выразим $y'$ через $x$ и $y$:

$(x - y) \cdot y = x^2 \cdot y'$, $y' = \frac{(x - y) \cdot y}{x^2}$.

Теперь мы можем разделить переменные, переместив члены, связанные с $y$ на одну сторону, а $x$ на другую:

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x - y) \cdot y}{x^2}$.

Теперь давайте разделим обе стороны на $(x - y) \cdot y$:

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x - y}{x}$.

Интегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{1}{x} \cdot \left(1 - \frac{y}{x}\right) \, dx$.

Интегрируя, получим:

$\ln|y| = \ln|x| - \ln|y| + C$, $\ln|y|^2 = \ln|x| + C$, $\ln(y^2) = \ln|x| + C$, $y^2 = e^C \cdot x$, $y^2 = C \cdot x$.

Здесь $C$ - произвольная константа. Теперь найдем выражение для $y$:

$y = \pm \sqrt{C \cdot x}$.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

$y(x) = \pm \sqrt{C \cdot x}$,

где $C$ - произвольная константа.