Question

Найти значение производной функции в точке : y=ctg(pi/6-x) если x^0=pi/3

Answer 1

$y = \text{ctg} \left(\dfrac{\pi}{6} - x \right)$

Найдем производную:

$y' = \left(\text{ctg} \left(\dfrac{\pi}{6} - x \right) \right)' = -\dfrac{1}{\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{6} - x \right)} \cdot \left(\dfrac{\pi}{6} - x \right)' = \dfrac{1}{\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{6} - x \right)}$

Найдем значение производной в точке $x_{0} = \dfrac{\pi}{3}$

$y'_{0} = \dfrac{1}{\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} \right)} = \dfrac{1}{\sin^{2}\left(- \dfrac{\pi}{6} \right)} = \dfrac{1}{\sin^{2}\dfrac{\pi}{6}} =\dfrac{1}{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}} = 4$

Ответ: 4.

Answer 2

Чтобы найти значение производной функции в заданной точке, нам понадобятся два шага. Сначала найдем производную функции y = ctg(π/6 - x), а затем вычислим значение производной в точке x = π/3.

1. Найдем производную функции y = ctg(π/6 - x) по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции ctg(u), где u = π/6 - x:

(dy/dx) = -cosec^2(u) * du/dx.

Учитывая, что du/dx = -1, получим:

(dy/dx) = -cosec^2(π/6 - x).

2. Теперь, чтобы найти значение производной в точке x = π/3, подставим x = π/3 в полученное выражение:

(dy/dx) = -cosec^2(π/6 - π/3) = -cosec^2(π/6 - 2π/6) = -cosec^2(-π/6).

Заметим, что cosec(-θ) = -cosec(θ), поэтому:

(dy/dx) = -cosec^2(π/6) = -cosec^2(30°).

Для удобства, преобразуем угол из радиан в градусы:

30° = π/6.

Теперь можем записать окончательный ответ:

Значение производной функции y = ctg(π/6 - x) в точке x = π/3 равно -cosec^2(30°) или -cosec^2(π/6).

Answer 3

Для нахождения значения производной функции в заданной точке, сначала найдем саму производную функции y = ctg(pi/6 - x), а затем подставим значение x = pi/3.

Для начала вспомним, что ctg(x) это функция, обратная к тангенсу tg(x). Мы можем выразить ее через синус и косинус:

ctg(x) = 1 / tg(x) = cos(x) / sin(x)

Теперь возьмем производную от данной функции, используя правило производной частного и производные элементарных функций:

y' = (cos(x) * sin(pi/6 - x) - sin(x) * cos(pi/6 - x)) / (sin(x))^2

Теперь подставим x = pi/3:

y' = (cos(pi/3) * sin(pi/6 - pi/3) - sin(pi/3) * cos(pi/6 - pi/3)) / (sin(pi/3))^2

Упростим выражение:

y' = (cos(pi/3) * sin(pi/6 - pi/3) - sin(pi/3) * cos(pi/6 - pi/3)) / (sqrt(3)/2)^2

Значение cos(pi/3) = 1/2, sin(pi/3) = sqrt(3)/2, sin(pi/6 - pi/3) = sin(pi/6) = 1/2, cos(pi/6 - pi/3) = cos(pi/6) = sqrt(3)/2:

y' = (1/2 * 1/2 - sqrt(3)/2 * sqrt(3)/2) / (sqrt(3)/2)^2

y' = (1/4 - 3/4) / (3/4)

y' = -2/3

Таким образом, значение производной функции y = ctg(pi/6 - x) в точке x = pi/3 равно -2/3.