Question

Доказать с помощью метода мат индукции 2!×4!×6!×,,,×(2x)!>((x+1)!)^x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2!·4!·6!·...·(2n)!≥((n+1)!) ⁿ

Неравенство либо не должно быть строгим, либо нужно доказывать при n≥2. Так как при n=1 оно превращается в равенство.

Введём следующее обозначение. A(n)=2!·4!·6!·...·(2x)!;  B(n)=((n+1)!)ⁿ

Докажем данное неравенство с помощью метода математической индукции.

База верна.

A(1)=2!, B(1)=((1+1)!)¹=2!, A(1)=B(1)⇒A(1)=B(1). То есть, при n=1 имеем равенство.

A(2)=2!4!=2!·4·4!>2!·3·4!=3!·4!>3!·3!=(3!)²=B(2)⇒A(2)>B(2)

Предположим, что неравенство выполняется при n, то есть A(n)>B(n)

Докажем, что неравенство выполняется при n+1, то есть A(n+1)>B(n+1)

A(n+1)=2!·4!·6!·...·2n!·(2(n+1))!=A(n)·(2(n+1))!>B(n)·(2(n+1))!=((n+1)!)ⁿ·(2(n+1))!>((n+1)!)ⁿ·(n+1)!=((n+1)!)ⁿ⁺¹=B(n+1)⇒A(n+1)>B(n+1).

Ч.т.д

Answer 2

Для доказательства данного неравенства методом математической индукции, мы должны выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Проверим неравенство для x = 1 (или другого минимального значения x, если уточнение не дано).
2. Индукционный шаг: Предположим, что неравенство выполняется для некоторого k (k ≥ 1) и докажем, что оно также выполняется для k + 1.

Шаг 1 (Базовый шаг): При x = 1, у нас имеется:

2! × 4! × 6! × ... × (2 × 1)! > ((1 + 1)!)^1

Упростим левую и правую части неравенства:

2! = 2 4! = 2 × 3 × 4 = 24 (2 × 1)! = 2 ((1 + 1)!)^1 = (2!)^1 = 2

Теперь сравним их:

2 × 24 × 2 > 2

48 > 2 (верно)

Шаг 2 (Индукционный шаг): Предположим, что неравенство выполняется для некоторого k (k ≥ 1):

2! × 4! × 6! × ... × (2k)! > ((k + 1)!)^k

Теперь докажем, что оно выполняется для k + 1:

2! × 4! × 6! × ... × (2k)! × (2(k + 1))! > ((k + 1 + 1)!)^(k + 1)

Теперь упростим левую и правую части неравенства:

(2(k + 1))! = (2k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)(2k - 1)...(4)(3)(2)

((k + 1 + 1)!)^(k + 1) = ((k + 2)!)^(k + 1) = (k + 2)(k + 1)(k!)(k!)...(1)(1)

Мы замечаем, что у нас есть (2k + 2) в числителе и (k + 2) в знаменателе, и так далее, вплоть до k + 1. Таким образом, мы можем сократить некоторые члены:

(2k + 2)! / (k + 2)! = (2k + 2)(2k + 1)(2k)...(4)(3)(2)

Теперь сравним левую и правую части неравенства:

(2k + 2)(2k + 1)(2k)...(4)(3)(2) × (2k)! > (k + 2)(k + 1)(k!)(k!)...(1)(1)

Очевидно, что в правой части все множители теперь меньше или равны множителям в левой части, так как у нас есть все те же множители, но меньше на 2. Поэтому левая часть больше правой.

Таким образом, неравенство выполняется и для k + 1.

Итак, мы успешно доказали неравенство с помощью метода математической индукции.