Question

Помогите очень срочно пж. Построить график функции у=х^3-3x+3 по алгоритму 1. область определения функции 2. чётность нечётность функции 3 точки пересечения с осями 4 стационарные точки , интервалы возрастания и убывания функции , экстремумы функции 5 дополнительные точки 6 построение графика

Answer 1

Дана функция y(x) = x³ – 3x + 3.  

1) Область определения функции. Так как функция не имеет дроби или корня, то нет ограничения в области её определения.  

D(y) = (−∞; +∞).

2) Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-x)^3-3*(-x)+3=-x^3+3x+3≠f(x)≠-f(x).

3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, для чего приравниваем x = 0: у = 0³ – 3*0 + 3 = 3.

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;3).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для чего надо решить кубическое уравнение x³ – 3x + 3 = 0.

Для вычисления корней данного кубического уравнения используем формулы Кардано.

Для начала нам надо привести наше уравнение до вида:  

y³ + py + q = 0. Для этого используются следующие формулы:

p=-b^2/(3a^2 )+c/a;  q=(2b^3)/(27a^3 )-bc/(3a^2 )+d/a,

где a - коэффициент при x³,

b - коэффициент при x²,

c - коэффициент при x,

d - свободный член.

Подставим наши значения в данные формулы, мы получим:

p=-0^2/(3*1^2 )+(-3)/1=-3;  q=(2*0^3)/(27*1^3 )-(0*(-3))/(3*1^2 )+3/1=3.

вычислим количество корней кубического уравнения. Если:

Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня;

Q < 0 — три вещественных корня;

Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трехкратный вещественный корень.

В нашем случае Q = 1,25, будем иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

А сами корни найдём по следующим формулам:

x_1=α+β-b/3a;

x_2,3=-(α+β)/2-b/3a∓i (α-β)/2 √3  ;

где   α=(-q/2+√Q)^(1/3)  ,   β=(-q/2-√Q)^(1/3).

Подставив наши значения в вышеуказанные формулы вычислим, что:

α = −0,7256, β = −1,3782.

x1= −2,1038;  x2,3 = 1.0519 ± i•0,5652.

4) Стационарные точки , интервалы возрастания и убывания функции , экстремумы функции

Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции: y’ = (x3 – 3x + 3)’ = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1).  

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0): 3(x2 – 1) = 0, x = ±1.

Получили две критических точки:  х = -1 и х = 1.  

Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

x = -2 -1 0 1 2

y' = 9 0 -3 0 9

При x ∈ (−1; 1) производная y′ < 0, поэтому функция убывает на данном промежутке.

При x ∈ (-∞; -1) U (1; ∞) производная y′ > 0, функция возрастает на данных промежутках. При этом x = -1 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает, x = 1 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает.

Значение функции в этих точках: у(-1) = 5,  у(1) = 1.

5) Дополнительные точки для построения графика функции  y(x) = x3 − 3x + 3:

 

x y

-3.0 -15

-2.5 -5.1

-2.0 1

-1.5 4.1

-1.0 5

-0.5 4.4

0 3

0.5 1.6

1.0 1

1.5 1.9

2.0 5

2.5 11.1

3.0 21

 

6) По полученным данным строим график, и отметим характерные точки (пересечения с осями и экстремумы).

График функции и это же решение с правильным форматированием приведены во вложении.

 

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим функцию у = х^3 - 3х + 3 и выполним все указанные шаги построения графика и анализа функции.

1. Область определения функции: Функция у = х^3 - 3х + 3 определена для всех действительных значений х. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

2. Чётность и нечётность функции: Функция у = х^3 - 3х + 3 является нечетной функцией, так как выполняется свойство f(-x) = -f(x).

3. Точки пересечения с осями: Для определения точек пересечения с осями, подставим у = 0 и х = 0 в уравнение функции:

• При у = 0: 0 = х^3 - 3х + 3. Это уравнение имеет только один действительный корень, приближенно равный х ≈ 1.8793852415718.
• При х = 0: у = 0^3 - 3 * 0 + 3 = 3. Таким образом, функция пересекает ось у в точке (0, 3).

4. Стационарные точки, интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции: Для определения стационарных точек, найдем производную функции и приравняем ее к нулю: f'(х) = 3х^2 - 3.

f'(х) = 0 при 3х^2 - 3 = 0, 3х^2 = 3, х^2 = 1, х = ±1.

Таким образом, у нас две стационарные точки: (-1, 5) и (1, 1).

Теперь определим интервалы возрастания и убывания, а также экстремумы:

• Интервал возрастания: функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).
• Интервал убывания: функция убывает на интервале (-1, 1).

Экстремумы:

• Локальный минимум: (1, 1).
• Локальный максимум: (-1, 5).

5. Дополнительные точки: Мы можем выбрать несколько произвольных значений х и вычислить соответствующие им значения у, чтобы получить дополнительные точки, которые помогут нам построить график.

Выберем несколько значений х: х = -2, -1.5, -1, -0.5, 0.5, 1.5, 2.

Посчитаем соответствующие значения у: у = -2^3 - 3 * (-2) + 3 = -8 + 6 + 3 = 1. у = -1.5^3 - 3 * (-1.5) + 3 = -3.375 + 4.5 + 3 = 4.125. у = -1^3 - 3 * (-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5. у = -0.5^3 - 3 * (-0.5) + 3 = -0.125 + 1.5 + 3 = 4.375. у = 0.5^3 - 3 * 0.5 + 3 = 0.125 - 1.5 + 3 = 1.625. у = 1.5^3 - 3 * 1.5 + 3 = 3.375 - 4.5 + 3 = 1.875. у = 2^3 - 3 * 2 + 3 = 8 - 6 + 3 = 5.

Таким образом, дополнительные точки: (-2, 1), (-1.5, 4.125), (-0.5, 4.375), (0.5, 1.625), (1.5, 1.875), (2, 5).

6. Построение графика: Теперь, используя все найденные значения и точки, построим график функции у = х^3 - 3х + 3:

(Визуальное описание графика: график проходит через точку (0, 3), затем имеется локальный максимум в точке (-1, 5) и локальный минимум в точке (1, 1). График возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и убывает на интервале (-1, 1).)

Приношу извинения, но как текстовая модель, я не могу создать графики прямо здесь. Вы можете использовать различные онлайн-инструменты, такие как Desmos, GeoGebra, или Matplotlib в Python, чтобы построить график функции с помощью предоставленных значений.