Question

Tg8x-tg3x/1+tg8x*tg3x=1 Найди все корни уравнения

Answer 1

Ответ:

$\pi /20+\pi k/5,\;\pi \in Z$

Объяснение:

Для решения используем формулу тангенса разности аргументов:

$tg(a-b)=\frac{tga-tgb}{1+tga*tgb}$

$\frac{tg8x-tg3x}{1+tg8x*tg3x}=1\\\\tg(8x-3x)=1\\tg5x=1\\5x=\pi /4+\pi k,\;\pi \in Z\\x=\pi /20+\pi k/5,\;\pi \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения с тригонометрическими функциями нам понадобятся тригонометрические тождества.

Уравнение:

tg(8x) - tg(3x) / (1 + tg(8x) * tg(3x)) = 1

Для упрощения записи, обозначим tg(8x) за a и tg(3x) за b.

Тогда уравнение можно записать как:

a - b / (1 + ab) = 1

Далее, умножим обе стороны на (1 + ab), чтобы избавиться от дроби:

a - b = 1 + ab

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

ab + a - b - 1 = 0

Теперь мы имеем уравнение вида:

ab + a - b - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно a, и его можно решить с помощью обычных методов решения квадратных уравнений. Дискриминант D для этого уравнения равен:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-b - 1) = 1 + 4b + 4 = 4(b + 1)

Теперь найдем корни уравнения a:

a = (-b ± √(4(b + 1))) / 2

a = (-b ± 2√(b + 1)) / 2

a = -b ± √(b + 1)

Таким образом, получаем два значения для a:

a1 = -b + √(b + 1)

a2 = -b - √(b + 1)

Теперь, чтобы найти значения b, подставим полученные значения a обратно в уравнение a - b = 1 + ab:

1. При a = a1: (-b + √(b + 1)) - b = 1 + (-b + √(b + 1)) * b

-b + √(b + 1) - b = 1 - b + b√(b + 1)

√(b + 1) = 1

b + 1 = 1

b = 1 - 1 = 0

2. При a = a2: (-b - √(b + 1)) - b = 1 + (-b - √(b + 1)) * b

-b - √(b + 1) - b = 1 - b - b√(b + 1)

√(b + 1) = -1

Здесь возникает противоречие, так как корень не может быть отрицательным.

Следовательно, единственное решение этого уравнения - b = 0.

Теперь найдем соответствующие значения a:

a = -b + √(b + 1) = -0 + √(0 + 1) = 1

a = -b - √(b + 1) = -0 - √(0 + 1) = -1

Таким образом, корни уравнения:

а) tg(8x) = 1

б) tg(8x) = -1

Для нахождения значения x, нам нужно решить уравнения:

а) 8x = arctg(1) + k * π, где k - любое целое число.

б) 8x = arctg(-1) + k * π, где k - любое целое число.

Окончательно, корни уравнения будут иметь вид:

а) x = (arctg(1) + k * π) / 8, где k - любое целое число.

б) x = (arctg(-1) + k * π) / 8, где k - любое целое число.