Question

Для деяких чисел a, b і c, жодне з яких не дорівнює нулю, виконується рівність (a + b + c) (a – b + c) = a2 + b2 + c2. Доведіть, що a, b і c – послідовні члени геометричної прогресії.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Геометрическая прогрессия. Попытаемся.

Пусть a, b и с - последовательные члены геометрической прогрессии со знаменателем q.

Следовательно: b=qa, и c=q^2a. Запишем выражение, раскроем скобки и приведем подобные:

(a+b+c)*(a-b+c)=(a+qa+q^2a)(a-qa+q^2a)=a^2 - qa^2 + q^2a^2 + qa^2 - q^2a^2 + q^3a^2 +q^2a^2 - q^3a^2 + q^4a^2 = a^2 + q^2a^2 + q^4a^2.

Но вспомнив, что b=qa, увидим

q^2a^2 = qa*qa= (qa)^2=b^2.

Точно также для (вспомнив, что q^2a=с): q^4a^2 = q^2a*q^2a=(q^2a)^2= c^2

В итоге получим

a^2 + q^2a^2 + q^4a^2 = a^2 + b^2 + c^2

что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте доведемо цю рівність:

За умовою, маємо: (a + b + c) (a - b + c) = a^2 + b^2 + c^2

Розкриємо дужки: a^2 + ac - ab + ac - b^2 + bc + ac - b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2

Спростимо: a^2 + 3ac - 2b^2 + 2bc = a^2 + b^2 + c^2

Тепер зберемо всі члени в одній частині рівності: 3ac - 2b^2 + 2bc = b^2 + c^2

Перегрупуємо: 3ac + 2bc = b^2 + c^2 + 2b^2

Знайдемо спільний множник a і b з лівого боку: ac(3 + 2b) = 3b^2 + c^2

Тепер знайдемо спільний множник b і c з правого боку: b^2(3 + 2c) = 3b^2 + c^2

Оскільки а, b і c не дорівнюють нулю, ми можемо скоротити на них обидві частини рівності:

3 + 2b = 3 + 2c

Прирівняємо спільні множники: 3 + 2b = 3 + 2c 2b = 2c b = c

Тепер підставимо b = c у рівняння, що містить a, b і c: ac(3 + 2b) = 3b^2 + c^2

ac(3 + 2c) = 3c^2 + c^2

ac(3 + 3c) = 4c^2

Знову, оскільки a, b і c не дорівнюють нулю, скоротимо на них обидві частини рівності:

3 + 3c = 4c^2/c

3 + 3c = 4c

3 = c

Тепер, коли ми знаємо значення c, можемо знайти значення b, використовуючи b = c:

b = c = 3

Тепер знаємо значення b і c, і можемо знайти значення a, використовуючи a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c) (a - b + c):

a^2 + 3^2 + 3^2 = (a + 3 + 3) (a - 3 + 3)

a^2 + 18 = (a + 6) (a)

a^2 + 18 = a^2 + 6a

6a = 18

a = 3

Таким чином, ми довели, що a, b і c є послідовними членами геометричної прогресії зі значеннями 3, 3 та 3 відповідно.