Question

З точки А до площини α проведено перпендикулярні похилі АВ і АС. Знайдіть квадрат відстані між точками В і С, якщо відстань від точки А до площини α дорівнює 3 см, а похилі АВ і АС утворюють з площиною α кути по 60°. *

Answer 1

АВ⊥АС   ⇒  ∠ВАС=90° , АО⊥ плоск. α ,  АО=3 см ,  ∠АВО=∠АСО=60°

 Найти:  ВС² .

АО⊥ плоск.α   ⇒  АО⊥ВО  и  АО⊥СО

ΔАВО=ΔАСО  (по катету и острому углу)  ⇒  

АВ=АС=АО:sin∠ABO=3/sin60°=3/(√3/2)=2√3

∠ВАС=90°   ⇒   BC²=AB²+AC²=2*(2√3)²=2*4*3=24 (см²)

Answer 2

Давайте позначимо дані елементи:

• Відстань від точки А до площини α: AB = AC = 3 см
• Кути між похилою АВ і площиною α, а також між похилою АС і площиною α: кожен з цих кутів дорівнює 60°.

Ми можемо побудувати трикутник ABC, де AB = AC = 3 см і кути при вершині А обидва дорівнюють 60°. Цей трикутник буде рівностороннім трикутником.

Тепер ми маємо рівносторонній трикутник ABC зі стороною 3 см. Для знаходження квадрата відстані між точками B і C нам потрібно знайти довжину сторони BC.

З рівностороннього трикутника ми знаємо, що кожний кут у ньому дорівнює 60°. Таким чином, кут BAC також дорівнює 60°.

Закон синусів для трикутника ABC: $\frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{\sin \angle ABC}$

Знаючи, що $\angle BAC = \angle ABC = 60°$ і $AB = AC = 3$ см, ми можемо записати: $\frac{BC}{\sin 60°} = \frac{3}{\sin 60°}$

Враховуючи, що $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ми можемо розв'язати для BC: $BC = 3 \cdot \frac{\sin 60°}{\sin 60°} = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$

Таким чином, квадрат відстані між точками B і C дорівнює $BC^2 = 3^2 = 9$ см².