Question

Докажите тождество:(Sina-Cosa) =1-sin2a​

Answer 1

${(sina - cosa)}^{2} = \\ = {sin}^{2} a - 2sina \: cosa + {cos}^{2} a = \\ = ( {sin}^{2} a + {cos}^{2} a) - 2sina \: cosa = \\ = 1 - sin2a$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Начнем с левой стороны:

LHS: sin(a) - cos(a)

Теперь применим формулу вычитания синуса и косинуса:

sin(a) - cos(a) = sin(a) - cos(a) * (sin^2(a) + cos^2(a)) / (sin^2(a) + cos^2(a))

Так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1, то

sin(a) - cos(a) = sin(a) - cos(a) * 1 = sin(a) - cos(a)

Теперь используем формулу разности синусов:

sin(a) - cos(a) = -2 * sin((a + π) / 2) * sin((a - π) / 2)

Так как sin((a + π) / 2) = 1, а sin((a - π) / 2) = -1, то

sin(a) - cos(a) = -2 * 1 * (-1) = 2

Теперь у нас есть значение левой стороны (LHS = 2). Теперь рассмотрим правую сторону:

RHS: 1 - sin^2(a)

Используем формулу разности квадратов:

1 - sin^2(a) = (1 - sin(a)) * (1 + sin(a))

Теперь используем известный нам результат из левой стороны (LHS = 2):

(1 - sin(a)) * (1 + sin(a)) = 2

Таким образом, правая сторона (RHS = 2) также равна 2.

Итак, мы доказали, что левая сторона (LHS) и правая сторона (RHS) тождества равны 2. Таким образом, тождество (sin(a) - cos(a)) = 1 - sin^2(a) верно.