Question

Вычислить приближенно корень квадратный из ((3,02)^2+(3,97)^2) с помощью дифференциала

Answer 1

$3.02^2 + 3.97^2$

Рассмотрим функцию двух переменных:

$f(x,y) = x^2 + y^2$

Пусть $\Delta x = 0.02$, $\Delta y = -0.03$, $x = 3$, $y = 4$.

Теперь найдем дифференциал функции:

$d(f(x,y)) = f'_x(x,y)*\Delta x + f'_y(x, y) * \Delta y\\f'_x(x,y) = 2x\\f'_y(x,y) = 2y\\d(f(x,y)) = 2x\Delta x +2y\Delta y$

Приближенное значение считается по формуле:

$f(x+\Delta x, y + \Delta y) = f(x,y) + d(f(x,y)) = x^2 + y^2 + 2x\Delta x + 2y \Delta y$

Подставляем исходные значения, получаем ответ:

$f(3+0.02,4-0.03) = 3^2+4^2 + 2*3*0.02 - 2*4*0.03 = 25 + 0.12 - 0.24 = 24.88$

Что-то я недоглядел, что нужно найти корень из этого, поэтому теперь подставим это значение под корень:

$\sqrt{24.88} = \sqrt{25-0.12} = \sqrt{25(1-\frac{12}{2500})} = 5\sqrt{1 - 0.0048}$

Рассмотрим функцию $g(t) = 5\sqrt{t}$ при t = 1, Δt = -0.0048

$g'(t) = \frac{5}{2\sqrt{t}}$

$></p> <p>Ответ: 4.988</p> <p></p> <p></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для приближенного вычисления корня квадратного из выражения ((3.02)^2 + (3.97)^2) с помощью дифференциала, мы можем воспользоваться линеаризацией функции вблизи некоторой точки. Давайте выберем ближайшее значение, которое удобно брать для линеаризации, например, 3.

1. Найдем значение функции вблизи точки x = 3:

   f(x) = sqrt(x^2 + (3.97)^2) f(3) = sqrt((3)^2 + (3.97)^2) ≈ sqrt(9 + 15.7609) ≈ sqrt(24.7609) ≈ 4.9762

2. Теперь найдем производную функции f(x) в точке x = 3:

   f'(x) = (1/2) * (x^2 + (3.97)^2)^(-1/2) * 2x f'(3) = (1/2) * (9 + 15.7609)^(-1/2) * 6 ≈ 0.1283

3. Мы можем использовать формулу первого порядка для приближенного изменения функции:

   Δf ≈ f'(x) * Δx

   Где Δx - это изменение значения x от 3.02 до 3, то есть Δx = 3.02 - 3 = 0.02

4. Теперь мы можем приближенно вычислить изменение в значении функции:

   Δf ≈ 0.1283 * 0.02 ≈ 0.002566

5. И, наконец, приближенное значение корня:

   f(3.02) ≈ f(3) + Δf ≈ 4.9762 + 0.002566 ≈ 4.9788

Таким образом, приближенное значение корня квадратного из ((3.02)^2 + (3.97)^2) с использованием дифференциала составляет около 4.9788.