Question

Неравенство (x - a)(2x - 1)(x + b)>0 имеет решение (-4; 0,5)U(5; +бесконечность), найдите a и b

Answer 1

$(x-a)(2x-1)(x+b)>0$

Нули выражения, записанного слева:  $x_1=a\; ,\; \; x_2=\frac{1}{2}\; ,\; \; x_3=-b\; .$

Решение неравенства имеет вид:  $x\in (-4\ ;\ 0,5\ )\cup (5\, ;\, +\infty\, )\; .$

Тогда знаки  выражения, записанного слева, чередуются таким

образом:    $---(-4)+++(0,5)---(5)+++$  .

Значит неравенство будет иметь вид:  $(x+4)(2x-1)(x-5)>0$  .

1 случай:

 $x-a=x+4\ \ ,\ \ -a=4\ \ ,\ \ a=-4\\\\x+b=x-5\ \ ,\ \ b=-5$

2 случай:

$x-a=x-5\ \ ,\ \ -a=-5\ \ ,\ \ a=5\ \ ,\\\\x+b=x+4\ \ ,\ \ b=4$

Поэтому возможны два варианта ответа:  

    $a=-4\ ,\ b=-5$      или     $a=5\ ,\ b=4\ .$

Answer 2

Для того чтобы решить данное неравенство и найти значения параметров a и b, которые обеспечивают заданный интервал решения, мы можем воспользоваться методом интервалов и анализом знаков.

Интервалы, в которых данное неравенство может быть выполнено, это:

1. (-бесконечность; -4)
2. (-4; 0.5)
3. (0.5; 5)
4. (5; +бесконечность)

Рассмотрим знаки множителей на каждом из этих интервалов:

1. При x < -4:

   • (x - a), (2x - 1) и (x + b) все отрицательные, так как -4 < a < 0.5 и -4 < b.
   • Произведение отрицательных чисел также будет отрицательным.

2. При -4 < x < 0.5:

   • (x - a) отрицательное, так как -4 < a < x < 0.5.
   • (2x - 1) отрицательное, так как -4 < 2x - 1 < 0.5 - 1 = -0.5.
   • (x + b) отрицательное, так как -4 + b < x + b < 0.5 + b, и -4 < b < 0.5.
   • Произведение отрицательных чисел будет положительным.

3. При 0.5 < x < 5:

   • (x - a) положительное, так как 0.5 < x > a.
   • (2x - 1) положительное, так как 0.5 < 2x - 1 < 5 - 1 = 4.
   • (x + b) отрицательное, так как 0.5 + b < x + b < 5 + b, и b < 0.5 < 5.
   • Произведение положительного и отрицательного чисел будет отрицательным.

4. При x > 5:

   • (x - a), (2x - 1) и (x + b) все положительные, так как x > 5 > a и 2x - 1 > 2 * 5 - 1 = 9 > 0 и x + b > 5 + b > 0.
   • Произведение положительных чисел будет положительным.

Исходя из анализа знаков, нам нужно, чтобы на интервалах 2 и 4 произведение было положительным. То есть, значение множителей на интервалах 2 и 4 должно быть такое:

На интервале 2:

• (x - a) < 0
• (2x - 1) < 0
• (x + b) < 0

На интервале 4:

• (x - a) > 0
• (2x - 1) > 0
• (x + b) > 0

Учитывая это, мы можем выбрать a = -3 (чтобы (x - a) < 0 на интервале 2) и b = 4 (чтобы (x + b) > 0 на интервале 4). Таким образом, неравенство будет иметь заданное решение:

(x - (-3))(2x - 1)(x + 4) > 0

Теперь мы можем убедиться, что данное неравенство действительно имеет решение (-4; 0.5)U(5; +бесконечность).