Question

Возьмите интеграл от (5x+2) * e^(2x/3-7) по dx . Чего то слишком сложно у меня получилось ))

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

..........................

Answer 2

Давайте вместе рассмотрим этот интеграл и посмотрим, как его решить. Интеграл вида

∫ (5x + 2) * e^(2x/3 - 7) dx

можно решить с помощью метода интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это функции, которые выбираются для упрощения интеграла.

Давайте выберем следующим образом:

u = (5x + 2) => du = 5 dx dv = e^(2x/3 - 7) dx => v = (3/2) * e^(2x/3 - 7)

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫ (5x + 2) * e^(2x/3 - 7) dx = (5x + 2) * (3/2) * e^(2x/3 - 7) - ∫ (3/2) * e^(2x/3 - 7) * 5 dx

После упрощения:

= (15x + 6) * e^(2x/3 - 7) - (15/2) * ∫ e^(2x/3 - 7) dx

Теперь рассмотрим интеграл ∫ e^(2x/3 - 7) dx:

Заметим, что это интеграл от экспоненты с переменным показателем, аналогично интегралу от e^x. Чтобы проинтегрировать его, мы делаем замену:

2x/3 - 7 = t => dx = (3/2) dt.

Тогда:

∫ e^(2x/3 - 7) dx = ∫ e^t * (3/2) dt = (3/2) ∫ e^t dt

Интеграл ∫ e^t dt с легкостью находим:

= (3/2) * e^t + C

Теперь возвращаемся к исходному переменному x:

= (3/2) * e^(2x/3 - 7) + C_1

Теперь объединим все результаты:

∫ (5x + 2) * e^(2x/3 - 7) dx = (15x + 6) * e^(2x/3 - 7) - (15/2) * ((3/2) * e^(2x/3 - 7)) + C

Упрощая:

= (15x + 6) * e^(2x/3 - 7) - (45/4) * e^(2x/3 - 7) + C

Итак, окончательный ответ:

∫ (5x + 2) * e^(2x/3 - 7) dx = (15x + 6 - (45/4)) * e^(2x/3 - 7) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.