Question

Исследуйте функцию на монотонность у=2х^3+3х^2-1

Answer 1

Дана функция у = 2x^3 + 3x^2 - 1.

Её производная равна у = 6x^2 + 6x = 6x(x + 1).

Приравняем её нулю: 6x(x + 1) = 0 и получаем 2 критические точки:

x = 0 и x = -1.

Находим знаки производной на промежутках между полученными точками.

x = -2               -1             -0,5            0            1

y' = 12       0       -1,5        0       12 .

Ответ: на промежутках (-∞; -1) и (0; +∞) функция возрастает.

На промежутке (-1; 0) функция убывает.

Answer 2

Для исследования функции на монотонность нужно проанализировать знак её производной. Если производная функции положительна на всем промежутке, то функция монотонно возрастает на этом промежутке. Если производная функции отрицательна на всем промежутке, то функция монотонно убывает на этом промежутке.

Данная функция у=2х^3+3х^2-1 является многочленом третьей степени. Для определения производной, возьмем производную от каждого члена функции по отдельности:

dy/dx (2х^3) = 6х^2 dy/dx (3х^2) = 6х dy/dx (-1) = 0 (константа)

Теперь найдем производную функции у=2х^3+3х^2-1, сложив производные каждого члена:

dy/dx = 6х^2 + 6х

Для определения знака производной, нужно узнать значения х, при которых dy/dx = 0:

6х^2 + 6х = 0

Вынесем общий множитель:

6х(х + 1) = 0

Таким образом, у=2х^3+3х^2-1 имеет две критические точки: х = 0 и х = -1.

Теперь определим знак производной на интервалах, разбив интервалы в соответствии с критическими точками:

1. Когда x < -1: Проверим значение производной при х = -2: dy/dx = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 (положительное значение) Таким образом, на интервале x < -1 производная положительна, а значит, функция монотонно возрастает на этом интервале.

2. Когда -1 < x < 0: Проверим значение производной при х = -1/2: dy/dx = 6(-1/2)^2 + 6(-1/2) = 6*(1/4) - 3 = 1.5 (положительное значение) Таким образом, на интервале -1 < x < 0 производная положительна, а значит, функция монотонно возрастает на этом интервале.

3. Когда x > 0: Проверим значение производной при х = 1: dy/dx = 6(1)^2 + 6(1) = 6 + 6 = 12 (положительное значение) Таким образом, на интервале x > 0 производная положительна, а значит, функция монотонно возрастает на этом интервале.

Итак, данная функция у=2х^3+3х^2-1 монотонно возрастает на всей числовой прямой.